第11章公钥密码学中的数学问题.PDF

第 11 章 公钥密码学中的数学问题 密码学（密码技术）是一门应用的科学，是信息安全的核心技术．它的知识涉及多个领 域，如数学、计算机等学科．密码学也可以认为是主要以数学学科为理论基础，以计算机科 学为实现工具而形成的一门具有自己特色的理论体系的一门科学．本节的主要目的是综合介 绍密码学所用到的数论、代数的一些数学问题．这些问题将构成公钥密码学所依赖的数学理 论的核心内容．通过对这些问题的进一步深入理解，将很容易地了解与学习公钥密码学的分 析技术与设计技术．另外，本章所介绍的数学问题的重要性主要体现在这些问题计算的有效 性或者是计算的复杂性，因此，在本章中，我们还将对一些问题的计算复杂性进行讨论． §1 时间估计与算法复杂性 我们必须首先介绍复杂性理论的一些概念，这有助于理解密码技术和算法的安全性，而 且有助于我们讨论各种数学问题的算法时间估计． 复杂性既是研究算法所需的计算量，也针对问题的内在复杂性进行分类． 算法的复杂性常常用两个概念来度量：时间复杂性和空间复杂性，这两个概念通常表示 n 为输入长度 的函数，而这两个概念从某种程度上也是可以相互转化的．比如要用试除的方 法求一个大数的因子分解，可以在一台计算机上串行的有哪些信誉好的足球投注网站素数表；也可以把素数表分配给 多台计算机，进行并行计算．前一种方法牺牲时间，后一种则牺牲了空间． 定义 1 在计算机的二进制整数的运算中，两个比特的一次加法、减法、乘法或一个二 位整数被一位整数整除的运算时间相同，都称为一次比特运算． 另外，一个算法在计算机上运行时，通常还有移位运算或存取运算，由于这些运算较快， 在算法的时间估计中，通常忽略这些运算时间． 在一个算法的运行中，比特运算次数与完成计算的时间基本上成正比，所以通常我们对 于一个算法的时间估计总是指计算机运行该算法所需要的比特次数． k 定理 1 若 是两个二进制长度为 的整数，则计算这两个整数的和或差的计算需要 a b, O (k ) 次比特运算． 定理 1 显然成立． k l 定理 2 若 分别为 位与 位二进制数 ，则计算它们的积或商需要 a b, ( l )k ≤ O(kl) O (log a log b ) ⋅ （ ）次比特运算． 2 2 证明 先来看看乘法的实现．令 k l b b( b b ) i ， b 2 j ． a a( a a ) a 2 ∑ l 1 0 2 ∑ j k 1 0 2 i i 0 j 0 ２１２ 由