虚数与波函数及德布罗意平面波的推导.pdf

虚数与波函数及德布罗意平面波的推导 吴超 摘 要 结合对虚数的进一步理解和法拉第电磁感应定律，提出了具有复数形式 的波函数描述的是一个简谐振动及其感生振动的矢量叠加的设想，并在此基础 上阐述了德布罗意平面波的推导。 关键词 虚数， 波函数， 德布罗意平面波，量子力学 1．前言 随着人类认知范围的扩大，为描述和解决相继出现的问题，人们发明了各种数系，如自 然数、整数、有理数、实数、虚数、等等。在所有这些数系中，虚数是最令人感到困惑的： i ＝ 在现实中究竟有什么意义？具有复数形式 的波函数描述了什么？ 下面将结合对虚数的进一步理解和法拉第电磁感应定律作出对复数形式波函数的清晰描 述，并在此基础上阐述量子力学中德布罗意平面波的推导。 2 ．虚数与波函数 当数学家们用复平面表示复数时，他们已下意识地回答了 i ＝ 在现实中有什么意义 这个问题—— i 就是将矢量旋转 90 °的算子。 众所周知，矢量 与 大小相等、方向相反，这就是说乘以算子－1 后矢量 旋转 了 180 °， 如 Graph 1.1 所示。 由 i 的定义可知， = i ·i · ， 这也就是说乘以 i 两次后，矢量 旋转了 180°，所以乘以i 后矢量 旋转了 180 °/2 = 90 °， 如 Graph 1.2 所示。（按此思路，乘 1/n 以（－1） 后矢量将旋转 180°/n ） 根据对 i 的理解，如果取 iY 轴同时垂直于 Y 轴与 X 轴，可画出 y = cos(x) 与 iy = i ·sin(x )的三维图像， 如 Graph 1.3 所示。 由 = cos(x) + isin(x )可知， 在 Y －iY 平面上的投影是一个圆， 如 Graph 1.4 所示。 显然，其三维图像是一条沿 x 轴旋转前进的螺旋线， 如 Graph 1.5 所示。 再根据法拉第电磁感应定律 ， 其中 E 为电场，B 为磁场，t 为时间 可知在恒定的横截面中，变化的磁场 B 能产生一个与之垂直的感生电场 E ，其值的大小正比 于 B 的变化率， 如 Graph 1.6 所示。 因为isin(x )垂直于 cos(x)，且 ，所以可以类似地设想波函数 = cos(x) + isin(x ) 实际描述了一个振动 cos(x)和它的感生振动 isin(x )的矢 量叠加。感生振动垂直于原振动、大小与原振动的变化率成正比。 3 ．德布罗意平面波的推导 考虑横波的情况，取 iY 分别垂直于 Y 轴 与 X 轴， 如 Graph 2.1 所示， 设有两列行波 以速度u 沿 X 轴正向传播， 振幅为 A ， 角频率为 ω。 其中 iy 方向的振动为 y 方向的振动所感生，其大小正比于 y 方向振动的变化率，它们在原 点 O 处的振动方程分别为： , t 为时间 当波从 O 点传播到 x 点时，x 点也将以同样的振幅与角频率开始振动。但由于波从 O 点到 x 点所需的时间间隔为 x/u ，所以当 O 点的振动时间为 t 时，x 点的振动时间仅为 t- x/u ， 因此它 [1] 们在 x 点的振动方程分别为 ： 由于cos(-x) = cos(x) ， sin(-x) = -sin(x) ， 所以它们的振动方程可写为： 由此可得 x 点的波函数： 再根据波长 λ与波速 u 及角频率 ω的关系： 及德布罗意的能量 E