沪科版9直线和圆的位置关系3切线长定理.ppt

切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。 例2 、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆⊙O分别相切于点L、M、N、P， 求证： AD+BC=AB+CD * 　作经过一定点C的圆的切线． 思考：定点C在圆的什么位置？ C O O. C (1)点C在圆上． (２)点C在圆外． 作法：连接OC，过点C作AB⊥OC．则直线AB就是所要作的切线． B A 证明：直线AB经过点C，并且AB⊥OC．由切线的判定定理可知，AB就是⊙O的切线，切点是点C． 作法：连接OC,以OC为直径的圆为⊙O1，与⊙O 相交于两点P和P′.连接CP和CP′,则CP和CP′都是过已知点C所引⊙O的切线． P P′ O1 证明：∵∠OPC是⊙O1内半圆上的圆周角， ∴∠OPC=90°. ∴PC⊥OP. 又∵OP是⊙O的半径，PC经过点C，∴PC就是所要作的切线. 同理，CP′也是所要作的切线. 尺规作图： 过⊙O外一点作⊙O的切线 O · P A B O 在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 · O P A B 切线与切线长是一回事吗？ · · 它们有什么区别与联系呢？ O P A B 比一比 O A B P 思考：已知⊙O切线PA、PB，A、B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么? 1 2 折一折 请证明你所发现的结论。 A P O B PA = PB ∠OPA=∠OPB 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点 ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90° ∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB 试用文字语言叙述你所发现的结论 证一证 PA、PB分别切⊙O于A、B PA = PB ∠OPA=∠OPB 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 几何语言: 反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法 O P A B 切线长定理 A P O B 若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明. OP垂直平分AB 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB M 试一试 A P O 。 B 若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明. CA=CB 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴PC=PC ∴ △PCA ≌ △PCB ∴AC=BC C 。 P B A O （3）连结圆心和圆外一点 （2）连结两切点 （1）分别连结圆心和切点 反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。 想一想 例1、如图，AB是⊙O的直径，AC、BD、CD都是⊙O的切线，A、B、E是切点，连接CO、DO。 (1)求证：AC+BD=CD； (2)求∠DOC的度数。 O A B C D E 例题讲解 D L M N A B C O P 证明：由切线长定理得 ∴AL=AP，LB=MB,NC=MC， DN=DP ∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP 即 AB+CD=AD+BC 随堂训练 (2)观察OP与BC的位置关系，并给予证明。 (1)若OA=3cm, ∠APB=60°，则PA=______. P A B C O M 如图，AC为⊙O的直径，PA、PB分别切⊙O于点A、B，OP交⊙O于点M，连结BC。 一判断 （1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ） （2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。（　　　） 练习 (1)如图PA、PB切圆于A、B两点， 连结PO，则 度。 25 P B O A 二填空选择 三、综合练习 已知：如图PA、PB是⊙ O的两条切线，A、B为切点。直线OP交⊙ O于D、E，交AB于C。 O P A B C D E （1）图中互相垂直的关系有 对，分别是 （2）图中的直角三角