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第2模块 第12节 [知能演练] 一、选择题 1．如下图，阴影部分面积为(　　) A.[f(x)－g(x)]dx B.[g(x)－f(x)]dx＋[f(x)－g(x)]dx C.[f(x)－g(x)]dx＋[g(x)－f(x)]dx D.[g(x)－f(x)]dx 答案：B (　　) 解析：本题应画图求解，更为清晰，故选C.,f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx ＝x3＋(2x－x2) ＝＋(4－2－2＋)＝. 答案：C 3．设f(x)＝sintdt，则f[f()]等于(　　) A．－1 B．1 C．－cos1 D．1－cos1 解析：由于sintdt＝(－cost)＝1－cosx. ∴f(x)＝1－cosx.∴f()＝1－cos＝1. ∴f[f()]＝f(1)＝1－cos1. 答案：D 4．函数F(x)＝t(t－4)dt在[－1,5]上(　　) A．有最大值0，无最小值 B．有最大值0和最小值－ C．有最小值－，无最大值 D．既无最大值也无最小值 解析：F(x)＝t(t－4)dt＝(t2－4t)dt ＝(t3－2t2)＝x3－2x2，x∈[－1,5]． 令F′(x)＝x(x－4)＝0，∴x1＝0，x2＝4， ∴F(－1)＝－，F(0)＝0， F(4)＝－，F(5)＝－. ∴最大值为0，最小值为－. 答案：B 二、填空题 5．汽车以v＝3t＋2(单位：m/s)作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是________． 解析：s＝(3t＋2)dt＝(t2＋2t) ＝×4＋4－(＋2) ＝10－＝(m)． 答案：6.5 m 6．若f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，那么函数f(x)的解析式是________． 解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则(ax＋b)dx＝(ax2＋bx)＝a＋b＝5. x(ax＋b)dx＝(ax2＋bx)dx ＝(ax3＋bx2) ＝a＋b＝. 由，解得， ∴f(x)＝4x＋3. 答案：f(x)＝4x＋3 三、解答题 7．设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx在点x＝1处有极值－2.(1)求常数a，b的值； (2)求曲线y＝f(x)与x轴所围成的图形的面积． 解：(1)由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b， f(1)＝－2且f′(1)＝0， 即，解得a＝0，b＝－3， 即f(x)＝x3－3x. (2)作出曲线y＝x3－3x的草图，所求面积为阴影部分的面积，由x3－3x＝0得曲线y＝x3－3x与x轴的交点坐标是(－，0)，(0,0)和(，0)，而y＝x3－3x是R上的奇函数，函数图象关于原点中心对称． 所以(－，0)的阴影面积与(0，)的阴影面积相等． 所以所求图形的面积为 ＝－2(x4－x2)0＝. 8．如图所示，抛物线y＝4－x2与直线y＝3x的两交点为A、B，点P在抛物线上从A向B运动．(1)求使△PAB的面积最大的P点的坐标(a，b)； (2)证明由抛物线与线段AB围成的图形，被直线x＝a分为面积相等的两部分． (1)解：解方程组，得x1＝1，x2＝－4. ∴抛物线y＝4－x2与直线y＝3x的交点为 A(1,3)，B(－4，－12)， ∴P点的横坐标a∈(－4,1)． 点P(a，b)到直线y＝3x的距离为d＝， 由题知b3a，∴d＝ ∵P点在抛物线上，∴b＝4－a2， d′a＝·(4－3a－a2)′ ＝(－2a－3)＝0， ∴a＝－，即当a＝－时，d最大， 这时b＝4－＝， ∴P点的坐标为(－，)时，△PAB的面积最大． (2)证明：设上述抛物线与直线所围成图形的面积为S，位于x＝－右侧的面积为S1. S＝－4(4－x2－3x)dx＝， S1＝－(4－x2－3x)dx＝， ∴S＝2S1，即直线x＝－平分抛物线与线段AB围成的图形的面积． [高考·模拟·预测] 1．(2009·皖南八校二次联考) (sinx－acosx)dx＝2，则实数a等于(　　) A．－1 B．1 C．－ D. 解析： (sinx－acosx)dx＝(－cosx－asinx)＝－a＋1＝2，a＝－1. 答案：A 2．(2009·江南十校测试)若(2x＋)dx＝3＋ln2且a1，则实数a的值是(　　) A．2 B．3 C．5 D．6 解析：(2x＋)dx＝(x2＋lnx)＝a2＋lna－1＝3＋ln2，所以有a＝2. 答案：A 3．(2009·合肥二检)物体A以速度v＝3t2＋1(m/s)在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后物体A追上物体B所用的时间(s)为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：由路程关于时间的函数关系式可知，物体A的路程s＝(3t2＋1)dt＝t3＋t，物体B