8-5平面方程.ppt

一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 */19 * 四、小结 思考题 第五节 平面及其方程 一、平面的点法式方程 二、平面的一般式方程 三、两平面的夹角 如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量． 法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量。 1、平面的法线向量 2、平面的点法式方程 设一平面通过已知点 且垂直于非零向量 求该平面?的方程. 则有 平面上的点都满足方程① ，不在平面上的点都不满足方程① ，方程①称为平面的方程，平面称为方程①的图形． ① 称①式为平面?的点法式方程, 法向量. 故 【例1】求过三点 即 【解】 取该平面? 的法向量为 的平面 ? 的方程. 利用点法式得平面 ? 的方程 此平面的三点式方程也可写成 [一般情况] 过三点 的平面方程为 【说明】 特别地,当平面与三坐标轴的交点分别为 此式称为平面的截距式方程. 时, 平面方程为 【分析】利用三点式 按第一行展开得 即 所求法向量可取为 化简得 所求平面方程为 【解】 1. 设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般 任取一组满足上述方程的数 则 显然方程②与此点法式方程等价, ② 的平面, 因此方程②的图形是 法向量为 方程.方程②中x, y, z的系数组成的向量即为平面的法向量. 2、一般方程的特例 ? 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; ? 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; ? A x+C z+D = 0 表示 ? A x+B y+D = 0 表示 ? C z + D = 0 表示 ? A x + D =0 表示 ? B y + D =0 表示 平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面. 设平面为 由平面过原点知 所求平面方程为 【解】 设平面为 由所求平面与已知平面平行得 （向量平行的充要条件） 【解】 化简得 令 代入体积式 所求平面方程为 【注】将a、b、c加绝对值，则得两个解 (P40 例3、例4 , 自己阅读练习) 设平面∏1的法向量为 平面∏2的法向量为 则两平面夹角? 的余弦为 即 两平面法向量的夹角(通常为锐角)称为两平面的夹角. 1.【定义】 特别有下列结论：两平面位置特征 【例2】求过点，且垂直于平面和的平面方程. 【例3】 设平面过原点及点，且与平面垂直，求此平面方程. 由平面过点知 【例4】求平行于平面而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.