《复变函数》(北邮)2012-2013年第一学期期末答案A.doc

北京邮电大学2012——2013学年第一学期 《复变函数》期末考试试题答案(A卷) 一、填空题（每空4分，共40分） 1、设，则的指数形式表示为。 2、 _______。 3、设，则_______。 4、函数的幂级数展开式为_____。 5、函数的周期为 。 6、的收敛半径为 1 。 7、设是，从到的一周，则 。 8、=。 9、设则= 1+i 。 10、方程的解为 。 二、选择题（每题4分，共16分） 1、函数在内的孤立奇点的个数为 （ C ） A．1 B．2 C．3 D．4 2、是函数的 （ D ） A．可去奇点 　　　　　　　 B．一阶极点 C．一阶零点　 D．本性奇点 3、与函数在点解析等价的条件是（ B ） A．在可导 B．在邻域能展成幂级数C．，满足C-R条件 D．，可微 4、下列命题正确的是 （ C ） A．如果存在，则在点必解析 B．每一幂级数在它的收敛圆内及收敛圆上皆收敛 C．若函数在区域D内解析且为实值，则在D内是常数 每一幂级数收敛于一个解析函数 三、计算题（每题5分，共10分） 1、计算 解：被积函数在|z|=1内只有一个奇点z=0,是一级极点 ···2分 ···4分 原式= ···5分 2、设，判断函数在全平面为调和函数，并求以为实部的解析函数，使。 解：， 所以，函数在全平面为调和函数。 ···2分 由解析函数的求导公式得 所以。 ···5分 四、（6分）利用留数定理计算积分 解： ···1分 设，则 ···2分 所以 ···3分 ···6分 五、（6分）求证，如果是的级零点，那么是的级零点。 证 ···2分 故 ···4分 在解析，且，故是的级零点. ···6分 六、（6分）如果是解析函数，证明 证 ，故 ···2分 由C-R条件得 ···4分 故 ···6分 七、（8分）把函数在区域 1|z|2 展开成洛朗级数。 解：原式= ···2分 其中 ···4分 ···6分 ···8分 八、（8分）判定孤立奇点的类型，并求相应奇点处的留数. 解 （1）是一个孤立奇点， ···2分 而，故这是可去的奇点从而 ···4分 （2） 因此，和均是此函数的一级极点， ···6分 且 ···8分 5