高阶导数的应用-作业.doc

高阶导数的应用 一、用多项式近似表达函数──泰勒公式 如果我们能用一个简单的函数来近似地表示一个比较复杂的函数，这样将会带来很大的方便。 一般地说，多项式函数是最简单的函数。那么我们怎样把一个函数近似地化为多项式函数呢? [定理] 设f(x)在x＝0点及其附近有直到n＋1阶的连续导数，那么 其中Rn(x)＝(ξ在0与x之间) 上式称为函数f(x)在x＝0点附近关于x的泰勒展开式简称泰勒公式。式中的Rn(x)叫做拉格朗日余项。 当x→0时，拉格朗日余项Rn(x)是关于的高阶无穷小量，可表示为Rn(x)＝O()。 O()称为皮亚诺余项。 这样，函数f(x)在x＝0点附近的泰勒展开式又表示为： 一般地，函数f(x)在x＝x0点附近泰勒展开式为： 例求函数f(x)＝在x＝0点的泰勒展开式解：∵f(x)＝f(x)＝…＝f(n)(x)＝∴f(0)＝f(0)＝f(0)＝…＝f(n)(0)＝1 于是，在x＝0点的泰勒展开式为： 在上式中，令x＝1，可得求e的近似公式例求函数f(x)＝sin x在x＝0点的泰勒展开式例求函数f(x)＝cos x在x＝0点的泰勒展开式例求函数f(x)＝ln(1＋x)在x＝0点的泰勒展开式1. 不定式 [定理] 如果当x→a时函数f(x)、g(x)都趋向于零，在点a的某一邻域内(点a除外)，f’(x)、g’(x)均存在，g’(x)≠0，且 存在(或无穷大)，则 证明：根据柯西定理有 ∵ξ在x与a之间，∴当x→a时ξ→a ∵ ，∴ 这说明求可导函数与商的极限时可以转化为求它们导数的商的极限。 当x→∞时，上述定理也成立。 例求极限解：当x→0时原式是型的不定式，用罗必塔法则有 例求极限例求极限2. 不定式 [定理] 如果当x→a时函数f(x)、g(x)都趋向于无穷大，在点a的某一邻域内(点a除外)，f(x)、g(x)均存在，g(x)≠0且 存在(或无穷大)，则 当x→∞时，上述定理也成立。 例求解：当x→0+时原式是型的不定式，用罗必塔法则有 例证明当a＞0时，＝0