函数y=Asin(ωxφ)的图象及应用.docx

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用【考纲要求】1.考查函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换；2.结合三角恒等变换考查y＝Asin(ωx＋φ)的性质和应用；3.考查给出图象的解析式．备考要求　1.掌握“五点法”作图，抓住函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的特征；2.理解三种图象变换，从整体思想和数形结合思想确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质．【知识梳理】1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示.xωx＋φ0π2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A02.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤如下：3．图象的对称性函数y＝Asin(ωx＋φ) (A0，ω0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝xk(其中ωxk＋φ＝kπ＋，k∈Z)成轴对称图形．(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(xk,0)(其中ωxk＋φ＝kπ，k∈Z)成中心对称图形．[难点正本　疑点清源]1．作图时应注意的两点(1)作函数的图象时，首先要确定函数的定义域．(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．2．图象变换的两种方法的区别由y＝sinx的图象，利用图象变换作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0) (x∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位．【考点自测】1．已知简谐运动f(x)＝2sin (|φ|)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为__________．解析　由题意知1＝2sinφ，得sinφ＝，又|φ|，得φ＝；而此函数的最小正周期为T＝2π÷＝6.答案　6，2．(2012·浙江改编)把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是______．(填序号)解析　y＝cos2x＋1y＝cosx＋1y＝cos(x＋1)＋1y＝cos(x＋1)．由此可知图象为①.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3．(2011·大纲全国)设函数f(x)＝cosωx (ω0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于________．解析　由题意可知，nT＝ (n∈N*)，∴n·＝ (n∈N*)，∴ω＝6n (n∈N*)，∴当n＝1时，ω取得最小值6.4．把函数y＝sin的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得的函数解析式为__________________．解析　将原函数的图象向右平移个单位，得到函数y＝sin＝sin的图象；再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，得到函数y＝sin的图象．5.已知简谐运动f(x)＝Asin(ωx＋φ) (|φ|)的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为__________．解析　由图象易知A＝2，T＝6，∴ω＝，又图象过(1,2)点，∴sin＝1，∴φ＋＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|，∴φ＝.【题型分析】题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换例1　已知函数y＝2sin.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y＝2sin的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．思维启迪：(1)由振幅、周期、初相的定义即可解决．(2)五点法作图，关键是找出与x相对应的五个点．(3)只要看清由谁变换得到谁即可．解　(1)y＝2sin的振幅A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝.(2)令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sinX.列表，并描点画出图象：x－X0π2πy＝sinX010－10y＝2sin020－20(3)方法一　把y＝sinx的图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin的图象，再把y＝sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象．方法二　将y＝sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝sin2x的图象；再将y＝sin2x的图象左移个单位，得到y＝sin2＝sin的图象；再将y＝sin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原2倍，得到y＝2sin的图象．探究提高　(1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两端伸展一下