函数f(x)=Asin(ωxφ)的图象【要点导学】.doc

要点导学　各个击破 函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象与变换 　已知函数y=3sin. (1) 用“五点法”作函数的图象; (2) 说出此图象是由y=sinx的图象经过怎样的变化得到的; (3) 求此函数的周期、振幅、初相; (4) 求此函数的对称轴、对称中心和单调增区间. [思维引导]用“五点法”画出函数的图象,然后根据函数图象研究其性质. [解答](1) ①列表: x x- 0 π 2π y 0 3 0 -3 0 ②描点: ③作图:如图所示. (例1) (2) 方法一:“先平移,后伸缩”. 先把y=sinx的图象上所有的点向右平移个单位长度,得到y=sin的图象;再把y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin（x-）的图象;最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin（x-）的图象. 方法二:“先伸缩,后平移”. 先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin的图象;再把y=sin的图象上所有的点向右平移个单位长度,得到y=sin的图象;最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin的图象. (3) 周期T===4π,振幅A=3,初相是-. (4) 由于y=3sin是周期函数,通过观察图象可知,所有与x轴垂直并且通过图象的最值点的直线都是此函数的对称轴,即令x-=+kπ,解得x=+2kπ,k∈Z,此即为对称轴方程. 所有图象与x轴的交点都是函数的对称中心,令x-=kπ,得x=+2kπ,k∈Z,所以对称中心为,k∈Z. 因为x前的系数为正数,所以把x-视为一个整体,令-+2kπ≤x-≤+2kπ,解得x∈,k∈Z,即为此函数的单调增区间. [精要点评]图象变换有两种方法:一是按照φ→ω→A,二是按照ω→φ→A,其中第二种方法易错. 　(2014·安徽卷)若将函数f(x)=sin的图象向右平移φ个单位长度,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是　　　　. [答案] [解析]方法一:将f(x)=sin的图象向右平移φ个单位长度,得到y=sin的图象,由该函数的图象关于y轴对称,可知sin=±1,故2φ-=kπ+,k∈Z,即φ=+,k∈Z,所以当φ0时,φmin=. 方法二:由f(x)=sin的图象向右平移φ个单位长度后所得的图象关于y轴对称可知-2φ=+kπ,k∈Z,又φ0,所以φmin=. 确定函数f(x)=Asin(ωx+φ)的解析式 　已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)（ω0,πφ）的部分图象如图所示. (例2) (1) 求函数f(x)的表达式; (2) 求函数f(x)在上的最大值和最小值. [思维引导]本题借助正弦函数的图象考查三角函数的基本性质,属于简单的数形结合问题.要求正弦型函数f(x)=Asin(ωx+φ)的解析式,一般通过以下几个步骤实现:①根据振幅求出A;②根据图象的最高点、最低点或与x轴的交点求周期,再求出ω;③根据特殊值求出初相φ.对于(2),先求出ωx+φ的取值范围,再根据正弦函数在相应区间上的性质即可求解. [解答](1) 由题意可得·=-,即ω=,因此f(x)=2sin. 又f=2,即sin=1, 而πφ,故φ=,所以f(x)=2sin. (2) 由(1)可知f(x)=2sin=-2sin, 由x∈,得x+∈, 所以f(x)∈[-2,]. 故f(x)的最大值为,最小值为-2. [精要点评]利用函数的单调性知识求最值. 　(2014·南京、盐城二模)若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A0,ω0,0φπ)的图象如图所示,则f的值是　　　　. (变式) [答案]1 [解析]由图象可得A=2.又T=π-=π,即T=π,所以ω=2.将代入得+φ=2kπ+,即φ=+2kπ,k∈Z,又0φπ,所以φ=.所以f=2sin=1. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)性质的综合应用 　将函数f(x)=sinωx(其中ω0)的图象向右平移个单位长度,所得图象经过点,则ω的最小值是　　　　. [思维引导]先根据平移原则得到关于ω的关系式(方程),然后再确定ω的值. [答案]2 [解析]函数向右平移个单位长度得到函数g(x)=f=sin的图象,因为此时函数图象过点,所以sin=0,即ω==kπ,所以ω=2k,k∈Z,所以ω的最小值为2. 【题组强化·重点突破】 1. (2014·无锡期末)已知函数f(x)=sin的图象C1向左平移个单位长度得到图象C2,那么图象C2在[0,π]上单调减区间是　　　　. [答案] [解析]将函数C1:f(x)=sin的图象向左平移单位长度得到函数C2:g(x)=sin的