线性变换-习题课.ppt

１　线性空间的定义 ２　线性空间的性质 ３　子空间 ４　线性空间的维数、基与坐标 ５　基变换 ６　坐标变换 ７　线性变换的定义 ８　线性变换的性质 ９　线性变换的矩阵表示 10　线性变换在给定基下的矩阵 11　线性变换在不同基下的矩阵 典　型　例　题 一、线性空间的判定 二、子空间的判定 三、求向量在给定基下的坐标 四、由基和过渡矩阵求另一组基 五、过渡矩阵的求法 六、线性变换的判定 七、有关线性变换的证明 八、线性变换在给定基下的矩阵 九、线性变换在不同基下的矩阵 第六章　　测试题 测试题答案 解 证一 证二 解 解一　由过渡矩阵的定义有 整理得 　　从上面的解法可以看到，由定义出发，利用 解方程组，求出线性表达式中的系数，得到过渡 矩阵，这种方法计算量太大，因此，当线性表达 式不容易得到时，可采用下面的解法． 解二　引入一组新的基 解 解 解 　　那么， 就称为（实数域 上的）向量空间（ 或线性空间）， 中的元素不论其本来的性质如 何，统称为（实）向量． 　　简言之，凡满足八条规律的加法及乘数运算， 就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就 称为向量空间． 定义　设 是一个线性空间， 是 的一个非空子 集，如果 对于 中所定义的加法和乘数两种运算 也构成一个线性空间，则称 为 的子空间． 定理　线性空间 的非空子集 构成子空间的充分 必要条件是： 对于 中的线性运算封闭． 定义 定义 　　一般地，设 与 是两个线性空间，如果在 它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关 系保持线性组合的对应，那么就说线性空间 与 同构． 　　线性空间的结构完全被它的维数所决定． 　　任何 维线性空间都与　 同构，即维数相等 的线性空间都同构． 变换的概念是函数概念的推广． 　　同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的， 反之，相似矩阵也可以看成是同一线性变换在不 同基下的矩阵． 一、线性空间的判定 二、子空间的判定 三、求向量在给定基下的坐标 四、由基和过渡矩阵求另一组基 五、过渡矩阵的求法 六、线性变换的判定 七、有关线性变换的证明 八、线性变换在给定基下的矩阵 九、线性变换在不同基下的矩阵 　　线性空间中两种运算的８条运算规律缺一不 可，要证明一个集合是线性空间必须逐条验证． 　　若要证明某个集合对于所定义的两种运算不 构成线性空间，只需说明在两个封闭性和８条运 算规律中有一条不满足即可． 解