有限元法与程序-壳的弯曲1.ppt

* * * 第7章 壳的弯曲 应用有限单元法分析壳体结构时，广泛采用平面单元和曲面单元这两类壳体单元。首先介绍平面单元，它是平面应力问题单元和平板弯曲问题单元的组合；这种单元虽然简单，却颇为有效。其次介绍一个考虑横向剪切变形影响的曲面单元，称为8结点40个自由度的一般壳体单元，它可以适用于厚壳和薄壳。 壳体的中面是一个曲面，在分析壳中应力时，虽然直法线假定在薄壳理论中仍有效，但是壳体的变形与板的变形有着很大的不同，除了弯曲变形外还存在中面变形，因而内力包括有弯曲内力和中面内力。 问题特点： 由上述力共同作用下引起的壳体变形可以按照各自单独作用计算再叠加，因此本问题可以分解为平面应力问题与薄板弯曲问题的叠加，实质上即以平面单元来代替曲面单元，而这两类问题有限元解法已经分别介绍过了。 基本假定： 任何单曲或双曲薄壳，在单元较小时均可用薄板单元组成的单向或双向折板体系来近似。 在小变形及上述假定前提下，折板体系中的薄板单元受中面内薄膜力和板弯曲弯矩（及扭矩等）的联合作用，但是这两种力互不耦联（某状态的力在另一状态的位移上不作功）。 §7.1 平面壳体单元 基于上述假定，单元上任意一点(x,y,z)的位移为： 由此出发，经推演可证明：单元刚度特性像空间杆单元刚度特性可由拉压、弯曲、扭转组合一样，平面壳体单元的单元特性可由平面应力与薄板弯曲单元特性，根据单元结点位移的排列顺序组合得到。 为进行以下的单元分析，定义单元结点i的位移列阵为 定义单元结点i的节点力列阵为 单元结点位移、结点力矩阵为 说明：上述列式中引入θzi和Mzi的目的是为了后面整体分析时坐标转换应用，此处对于局部坐标下的单元分析是没有意义的。 壳体平面单元计算步骤如下: (1)划分单元，选定整体坐标系oxyz，定出结点在整体坐标系中的坐标值。 (2)对于各单元利用结点坐标值，建立一个局部坐标系o?x? y? z? ，确定坐标转换矩阵。 (3)对于各个单元，确定在局部坐标系和整体坐标系中的结点载荷列阵。 (4)建立局部坐标系中的刚度矩阵[k’] ，从而求出整体坐标系中的单元刚度矩阵[k] (5)集合单元刚度矩阵及等效结点力，形成整体刚度矩阵[K]和等效结点载荷列阵{F}。 (6)利用边界条件和约束，修改整体刚度矩阵，求解平衡方程 1. 局部坐标系的建立 三角形单元 矩形单元 2. 坐标转换 （1）三角形单元 可以选取节点1为局部坐标系的原点，并以1-2边为x′轴的正方向 ，该方向的单位矢量为 取单元的法线方向作为z ′轴的正方向，它的单位矢量是 其中： 其中： 因此，y ′轴的正方向的单位矢量为 Δ为三角形123的面积 其中： 局部坐标节点位移列阵与整体坐标节点位移列阵之间的转换关系为： 三角形单元局部坐标系与整体坐标系的转换关系为 局部坐标系下三角形单元节点位移与整体坐标系下的单元节点位移的转换关系为 （2）矩形单元 矩形单元一般用于柱面或箱型薄壳，一般选取整体坐标系的x轴和局部坐标系的x’轴平行于壳体的母线，局部坐标系的y’轴在单元平面内，z’轴垂直单元平面。 显然，矩形单元局部坐标系与整体坐标系的转换关系为 局部坐标节点位移列阵和整体坐标节点位移列阵之间的转换关系为： 局部坐标系下矩形单元节点位移和整体坐标系下的单元节点位移之间的转换关系为 3. 单元分析（局部坐标） 为进行以下的单元分析，定义单元结点i的位移列阵为 单元结点i的结点力列阵为： （1）矩形单元 单元结点位移、结点力矩阵为 由平面矩形单元的位移模式 其中： 矩形板单元的位移模式 其中： （平面壳体）矩形单元上任意一点位移为 其中： 将上式改写为 其中： *