第十四届“小机灵杯”数学竞赛初赛(三年级组).docx

第十四届“小机灵杯”数学竞赛初赛（三年级组）2015年12月27日13:00~14:00时间：60 分钟总分：120分（第1题~第4题，每题8分）【第1 题】已知1050?840?□?8?90，那么□?。【分析与解】计算问题，易得□=7【第2 题】即将过去的2015年中有连续的7天，其日期数总和是100，那么这7天的日期数分别是、、、、、、。【分析与解】时间与日期。如果这7 天在同一个月中，那么日期数总和是中间数?7；而100 不是7 的倍数；故这7天在相邻的两个月。28?27?26?81，28?27?26?25?106?100；30?29?28?87，30?29?28?27?114?100；31?30?29?90，31?30?29?28?118?100；1?2?3?4?10；所以只能是100?29?30?31?1?2?3?4；即这7天的日期数分别是29、30、31、1、2、3、4。【第3 题】用5 个相同的小正方形拼成一个轴对称图形，要求每个小正方形至少有一条边与另一个小正方形的边完全重合，共有种不同的拼法。请你一一画出这些图形。（通过旋转或翻折得到的图形算作同一种）【分析与解】图形剪拼。考虑到对称图形，共有6种。分别为“一字”形，“凹字”形，“T字”形，“十字”形，“w字”形,“L字”形【第4 题】小明的弟弟是三胞胎，小明今年的年龄与3个弟弟的年龄总和相等。再过6年，3个弟弟的年龄总和是小明年龄的2倍。小明今年岁。【分析与解】年龄问题，差倍问题。（方法一）小明今年的年龄与3个弟弟的年龄总和相等；故再过6年，3个弟弟的年龄总和比小明多6?3?6?12岁；而再过6年，3个弟弟的年龄总和是小明年龄的2倍；则再过6年，小明年龄为12??2?1??12岁；小明今年12?6?6岁。（方法二）设小明今年x岁；由题意，得2?x?6??x?6?3；解得x?6；小明今年6岁。（第5题~第8题，每题10分）【第5 题】如图“○”中所填的数等于与之相连的三个“△”中数的乘积，中所填的数等于与之相连的三个“○” 中数的总和。现将5、6、7、8、9分别填入五个“△”中，则中的数最大等于。【分析与解】如图所示，分别填上字母A~I；因为中所填的数等于与之相连的三个“○”中数的总和；所以I ?F ?G ?H ；因为“○”中所填的数等于与之相连的三个“△”中数的乘积；所以F?A?B?C，G?B?C?D,H?C?D?E；其中C出现了3次，B和D各出现了2次，A和E各出现了1次；我们希望I尽可能大，则C?9，?B,D???7,8?，?A,E???5,6?；不妨设B?7，D?8；则G?7?9?8?504，F?A?7?9，H?9?8?E；故取A?5，E?6；则F?5?7?9?315，G?7?9?8?504，H?9?8?6?432，I?315?504?432?1251；中的数最大等于1251。【第6 题】小胖将1，2，3，4，?，49，50这50个整数按从小到大的顺序无间隔地排列在一起，然后在每相邻的两个数字之间插入“?”，得到了一个加法算式：1?2?3?4?5?6?7?8?9?1?0?1?1?请你算一算，这个加法算式的和，结果是。【分析与解】本题即求1~50这50个整数的数字之和。（方法一）?5?0。个位上，数字1，2，…，9，0各出现了5次；十位上，数字1，2，3，4各出现了10次，5只出现了1次；故1~50这50个整数的数字之和为?1?2??9?0??5????1?2?3?4??10?5?1???330；即结果是330 。（方法二）我们先求0~49这50个整数的数字之和：因为0?49，1?48，…，24?25均未产生进位；故0~49这50个整数的数字之和为?4?9???50?2??325；故1~50这50个整数的数字之和为325?0??5?0??330；即结果是330 。【第7 题】一个整数减去77，然后乘以8，再除以7，所得的商是37，且有余数。这个整数是。【分析与解】还原问题。37?7?1?260，37?7?2?261，37?7?3?262，37?7?4?263，37?7?5?264，37?7?6?265中8的倍数只有264；264?8?77?110；这个整数是110。【第8 题】学校有90名教师，其中有66名教师喜爱喝茶，有42名教师喜爱喝咖啡，而这两种饮料都喜爱的人数恰好是两种饮料都不喜爱的人数的3倍。那么学校有名教师至少喜爱喝茶和咖啡中的一种饮料。【分析与解】容斥原理。设两种饮料都不喜爱的有x人；则两种饮料都喜爱的有3x人；?66?42?3x??x?90；解得x ? 9；两种饮料都不喜爱的有9人；则两种饮料都喜爱的有3?9?27人；学校有66?42?27?81或100?9?81名教师至少喜爱喝茶和咖啡中的一种饮料。（第9 题~第12 题，每题12 分）