《现代精算风险理论》课件汇总个体风险模型.ppt

中华精算师考试网 第2章 个体风险模型 本章讨论保险人风险组合的总索赔额的分布函数。 在概率论中所学到的所有的随机变量要么为离散型要么为连续型，几乎无一例外． 然而保险领域却不总是这样．许多被用来模拟保险理赔支付的分布函数有连续增长的部分，同时也有离散的、正的跳跃部分． Riemann-Stieltjes积分 混合随机变量的分布 2.3 卷 积 例2.5.3（两种不同的近似） 假设1000 个男性年轻人购买了保险期间为一年的保单． 每个投保人在一年内死亡的概率为0 . 001 ，且死亡发生的理赔支付为1 . 我们要计算这批保单总的理赔支付至少为4 的概率。 选择伽玛分布的理由 伽玛分布包含了常见的一些分布，如指数分布G(1,β)，卡方分布(k/2,1/2)等。 伽玛分布是不对称的，右拖尾分布。与保险精算中的风险的分布往往具有类似的性质。 保险人希望通过对最佳自留额的选取，即每份保单的最大支付，尽量提高其在业务运营中能够满足其财务职责的概率． 一次理赔中扣除自留额以外的剩余部分是由再保险人支付． 例如，对于1.6 的自留额，保险金额为2 的某个被保险人死亡，该保险人赔偿1.6，再保险人赔偿0.4． 收到保费后，保险人持有资金B 以应付理赔和支付再保险保费．再保险保费是净保费的120% . 我们对 和 应用（2.63） 正态近似 NP 伽玛平移 0.0013 0.011 0.010 2 . 6 应用：最优再保险 一个保险人希望对20000 份一年期寿险保单寻求一个最佳再保险，这批保单按保险金额可以分为以下三种： 在个体风险模型中，我们感兴趣的是多个保单总理赔S 的分布： 首先来计算X +Y 的分布函数： 连续形式的全概率公式 其中求和是取遍所有使得 的x。 如果X 和Y 是连续型的，则 为求X + Y + Z的分布函数，我们在做卷积运算时所采用的卷积次序无关紧要 n 个独立同分布的随机变量之和的分布函数是共同边际分布F 的n 重卷积，记为 一个集合A 的示性函数定义为 对任意x , X 的分布函数可以表达为 对任意y , Y 的分布函数可以表达为 又 ，进而有 应用卷积公式得 例2.3.2 （离散分布的卷积） 例2.3.3 ( iid 均匀分布的卷积） 例2.3.4(泊松分布的卷积) 设 和 相互独立． 对一个非负随机变量X ，其矩母函数定义为 其中h 为某个常数．因为我们特别要用到矩母函数在0 点附近的小区间里的取值，所以要求h 0 ． 2.4 变换 随机变量的矩母函数与分布函数一一对应。 如果X 和Y 相互独立，则 对于某些具有重尾的分布，如柯西分布，其矩母函数不存在．但是特征函数总是存在的．特征函数定义为 利用展开式可以得到 随机变量的特征函数与分布函数一一对应。 所以X 的k 阶矩等于 概率母函数（pgf）仅用于取值为自然数的随机变量，定义为 累积量母函数（cgf）其定义为 随机变量X 的偏度定义为 其中 累积量母函数、概率母函数、特征函数和矩母函数之间有如下的关系： 2.5 近似分布 这样，我们就可以用下式来逼近的分布函数： 由 得 (3)正态近似 正态在这种情形下的估计很差！！！ 密度函数： 矩及偏度： 矩母函数： 平移伽玛近似可以表述如下： =0.01 Y~Г（4，0.002) 2*0.002Y~χ2(8) NP近似 对分布函数作展开，考虑分布的偏性而得到的一种近似的计算方法。 等价于，当 时， 精确值 正态近似 Poisson近似 伽玛平移 NP 0.01893 0.0062 0.01899 0.0212 0.0228 例2.5.8（用NP 近似重新计算例2.5.5） 我们用（2.62）决定资本量，以使资本以95％的概率不小于理赔额S : S 的95％的分位点为 * * * * 总索赔（随机变量的和）的分布要用卷积，因此非常麻烦。常用到均值，方差，矩母函数，特征函数，母函数等。 有别于中心极限定理的近似方法。 风险随机变量往往不能用纯离散和连续随机变量来刻画。因此常用Riemann-Stieltjes积分。 2.1 引言 2.2 混合分布和风险 本节我们讨论保险风险的一些实例.由于纯离散随机变量和纯连续随机变量都不能描述这种风险，所以我们必须先拓展分布函数类． 根据概率论的知识，任何一个分布函数