中南大学数学院数字图像处理第4章　图像变换.ppt

一、积分变换 目：的 简化问题的分析 求解问题的一般过程: 1）将原问题变为较易求解的问题 2）在原问题的频域解决问题 3）应用反变换，将频域内的解转化为原问题的解 连续函数的傅里叶变换 ?波形分析?理论分析 离散傅里叶变换 ?数学方法与计算机技术联系?理论/实用价值 傅里叶变换有两个好处： 1）可以得出信号在各个频率点上的强度。 2）可以将卷积运算化为乘积运算。 （一） 一维傅里叶变换 （四）离散傅立叶变换的矩阵表示 （五） 二维傅里叶变换的应用 1.傅里叶变换在图像滤波中的应用 首先，我们来看傅里叶变换后的图像，中间部分为低频部分，越靠外边频率越高。 因此，我们可以在傅里叶变换图中，选择所需要的高频或是低频滤波。 2. 傅里叶变换在图像压缩中的应用 变换系数刚好表现的是各个频率点上的幅值。在小波变换没有提出时，用来进行压缩编码。考虑到高频反映细节、低频反映景物概貌的特性。往往认为可将高频系数置为0，骗过人眼。 3. 傅里叶变换在卷积中的应用: 从前面的图像处理算法中知道，如果抽象来看，其实都可以认为是图像信息经过了滤波器的滤波（如：平滑滤波、锐化滤波等 ）。 如果滤波器的结构比较复杂时，直接进行时域中的卷积运算是不可思议的。 傅里叶 变换示意图 傅里叶变换的频率特性 傅里叶变换的低通滤波 傅里叶变换的高通滤波 傅里叶变换的压缩原理 傅里叶变换的压缩原理 三、离散余弦变换（DCT） 0. 问题的提出： 傅里叶变换的一个最大的问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数的两倍。为此，我们希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换。 在此期望下，产生了DCT变换。 5. DCT变换的应用： 余弦变换实际上是傅立叶变换的实数部分。 余弦变换主要用于图像的压缩，如目前的国际压缩标准的JPEG格式中就用到了DCT变换。具体的做法与DFT 相似。给高频系数大间隔量化，低频部分小间隔量化。 本章要点 一、正交函数 一组实值的连续函数{Sn(t)}={S0(t),S1(t),S2(t),…}，在 0?t?T 区间内， 若满足： 若k=1, 为归一化正交. 完备正交函数:所有互相正交的函数都包括在{Sn(t)}里面。 若f(t)是定义在(0,T)区间上的实值信号,则利用正交函数可展开为 （b）Gray码的性质 g(m)?g(n)=g(m ? n) eg. g(2)=0011，g(3)=0010 g(m) ? g(n)=0001 g(m ? n)=g(2 ? 3) =g(0010 ? 0011) =0001 （c）从Gray码?自然二进码 设Gray码为g=(gp-1 g p-2…gk…g1g0)g 自然二进制码：n=(np-1np-2…nk…n1n0)2 则: np-1=gp-1 np-2=gp-1?gp-2 … nk=gp-1 ?gp-2?…?gk … n0=gp-1?gp-2?… ?g1?g0 例： (1011)g, 求自然二进制码 g3=1,g2=0,g1=1,g0=1 n3=g3=1 n2=g3?g2=1 n1=g3?g2?g1=0 n0=g3?g2?g1?g0=1 ?(1011)g=(1101)2 由Rademacher函数求Walw(i,t) 设p=4,求Walw(5,t)的R表示 Gray码(0111)g (3)当p=3,对前8个Walw(i,t)取样可得下列矩阵 2.按Paley排列的Walsh函数Walp(i,t) 波形 Walp(i,t)亦可由Rademacher函数产生 ik是将函数序号写成自然二进码的第k位数字 即 eg. 1.求p=3时的Walp(1,t) 取样后离散矩阵:(p=3) 规律: 1.函数序号i与正交区间内取值符号变化次数的关系 5 4 6 7 2 3 1 0 变号数 7 6 5 4 3 2 1 0 i 2. i与变号次数的关系是二进码与Gray码的关系 eg. i=6=(110)2按Gray码 读4, 即(110)g=(100)2 3. 按哈达玛排列的Walsh函数WalH(i,t) ?1?Had