中科院自动化所考博数学试题(2007年-2012年).pdf

中国科学院自动化研究所 2008 年招收攻读博士学位研究生入学统一考试试题 科目名称：数学 考生须知： 1．本试卷满分为100分，全部考试时间总计180分钟。 2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 ⎡2 0 0⎤ ⎢ ⎥ 一． 设矩阵A ⎢1 1 1 ⎥， ⎢⎣1 −1 3 ⎥⎦ 求（i ）eA ; （ii ）etA , 其中t 属于实数; （iii ）etA 关于t 的导数。 ⎡0 4 1⎤ ⎢ ⎥ 二． 求矩阵B ⎢1 1 1 ⎥的QR （正交三角）分解。 ⎢⎣0 3 2⎥⎦ 三． 证明矩阵 ⎡ 2 1 1 ⎤ ⎢2 L ⎥ ⎢ n n n ⎥ ⎢1 4 1 L 1 ⎥ C ⎢n n n ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ M M M M ⎥ ⎢1 1 1 ⎥ ⎢ L 2n ⎥ ⎣n n n ⎦ 能够相似于对角矩阵，且C 的特征值都是实数。 四、设2 维随机变量(X , Y) 的分布密度为： ì 3x 0 x 1 0 y x ï , , ï g x y = ( , ) í ï 0 ï , 其它 î 1． 求边缘分布密度：gX (x ), gY (y ) ； 2 ． 求条件分布密度：g (x | y ), g (y | x ) 。 五、设随机变量X 的分布密度为： - |x | f (x ) = e / 2, - ? x + 1． 求E(X ), Var(X ), E(| X |), Var(| X |) ； 2 ． 求Cov(X ,| X |), Corr(X ,| X |) ； 3 ． X 与| X | 是否独立？为什么？ 六、设X , X ,..., X 和 Y , Y ,..., Y 分别是来自正态总体 2 和 2 的样 N (θ,σ ) N (θ,σ ) 1 2 N 1 2 M 1 2 本，其中σ ,σ 是已知的。