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自主招生考试中的平面几何问题
自主招生考试中的平面几何问题
山东省济宁一中 贾广素 邮编:272101
电话 近几年的自主招生试题中出现了不少平面几何试题,其中在北约的考试试题中,每年都会出现一道平面几何问题.本文我们举几道自主招生试题中的平面几何问题,希望能从自主招生试题的研究过程中,找到备考方法.
一.古典定理的考查
例1.如图,已知面积为1,、、分别在、、上,,
,
,
、、两交于、、,求的面积.
(2009年中国科技大学)
解:考虑直线截,由梅涅劳斯定理,得,从而得
,所以,故
由对称性,知
于是,
例2.已知为内一点,且满足.
求证:的三边的边长构成等差数列.
(2011年北京大学保送生试题)
[分析]条件中明显有、、三线交于一点的条件,但没有给出这3条线段与对边的交点,且还给出了与角度有关的条件,可考虑应用角元形式的塞瓦定理,再结合分析的方法,可以找到一条寻求解决问题的途径.
证明:如图所示,设
,,
,则
由角元塞瓦定理,可得,
即
下面证明
因为
[说明] 本题是非常典型的一道习题,三角形内满足的点称为的卡布洛点.布洛卡点的一个基本性质是
二.多点共圆问题
证明或利用多点共圆问题是历年来高中数学竞赛联赛二试中最常考的内容,最近几年在高校的自主招生试题中关于多点共圆的问题也时有出现,并且大有形成常规考题的可能.
例3.已知锐角,垂直于点,垂直于点,,,.若、交于点,连接,以为直径作圆,该圆与交于另一点,求的长度.
(2012年华约联考试题)
解:连接,则有垂直由已知条件,有,,
所以,
于是
因此,即为等腰三角形,于是由垂直于可得,,
又因为,
所以、、、四点共圆.
由托勒密定理,
由条件知,,,,
则,从而所以,由直径所对的圆周角是直角,知,所以
例4.求证:若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形.
(2012年北约联考试题)
证明:连结,依题意
因为、、、四点共圆,且,
所以,
而,
故
从而所以.
同理,其它各边也都相等,从而是正五边形.
例5.如图,是圆的直径,于点,且,,,是圆的切线,交于点
(1)求;
(2)连接,判断与的关系,并加以证明.
(2012年卓越联盟试题)
解:(1)连结、,则、、四点共圆.且由是切线知,所以
,且
(弦切角等于弦所对的圆周角).
所以,从而
,
从而
所以,
(2)与不平行(相交)用反证法.
以为坐标原点,所在的直线为轴建立一个平面直角坐标系.若//,则点的横坐标等于点的横坐标,即为
从而又,所以的斜率为
而,
.这与是圆的切线矛盾!
三.三角形问题
例6.如图,的两条高线、相交于,其外接圆的圆心为,过点作垂直于,与相交于点,则与的面积之比为( )
A.1:4 B.1:3 C.2:5 D.1:2
(2010年华约联考试题)
解:观察到,只要找到这两个三角形的边长之比,就可以求出其面积之比.
因为点为的外心,,所以是边的中点,故是边上的中线,由欧拉定理,可知与的交点为的重心,所以,又,故两三角形的面积之比为1:4.
例7.如图,内接与圆,过中点作平行于的直线,交于点,交圆于、,交圆的在处的切线于点,若,,,则的长为( )
A. B. C. D.
(2011年卓越联盟试题)
解:因为//,所以,又是圆的切线,可得
,故,又因为
,所以
,故,
因为,,
所以,再由相交弦定理,可得,故,得,最后,由相交弦定理,得,从而知
四.几何变换
例8.如图所示,已知正六边形中,,,,,求证:的面积是六边形面积的一半.
(2008年北京大学)
解:如图所示,旋转至,则,
显然
,,
故
又,,
故,从而,
又,,
故
所以
,
所以
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