第四章——连续时间系统的S域分析.docx

第4章 连续时间系统的S域分析 4.1拉普拉斯变换的定义、收敛域 定义 拉氏正变换： 拉氏逆变换： 常用函数的拉氏变换 阶跃函数 指数函数 （） 函数 [4] 冲激函数 4.2拉普拉斯逆变换 部分分式分解 [1]极点为实数，无重根 例 求下示函数的逆变换 解 用分子除以分母（长除法）可得 故有 [2]包含共轭复数极点 例 求下面函数的逆变换 解 下面分别求系数 也即，故而可以得到其逆变换的函数表达式 [3]多重极点 设有 现记 则个系数的计算公式为： 例 求下示函数的逆变换 解 将写成展开式 容易求得： 为求出与重根有关的个系数，令 故有 于是有 所求逆变换为 4.3微分方程的S域求解 对于二阶连续时间LTI系统，描述系统的微分方程为 为系统的初始状态。记。根据单边拉普拉斯变换的时域微分特性，有 例 描述连续时间LTI系统的微分方程为 已知。失球系统的零输入响应，零状态响应和完全响应。 解 对微分方程两边进行单边拉普拉斯变换，得 整理后，得 零输入响应的S域表示为 对上式作拉普拉斯反变换，得 因为 所以零状态响应的S域表示为 对上式作拉普拉斯变换得 完全响应为 4.4用拉普拉斯变换法分析电路 例 下图所示电路，时以前，开关S闭合，已进入稳定状态；时，打开开关，求并讨论对波形的影响。 解 用拉普拉斯变换法分析电路。根据电路图列写时的微分方程 对该微分方程两边同时取拉普拉斯变换有 由题意可知，解得，取逆变换得到 所以 4.5 S域电路元件模型 元件的时域关系为 将以上三式分别进行拉氏变换，得到 由此可得各元件的S域模型 电阻 电感 电容 同理，可得各元件的S域电流表达式 模型 电阻 电感 电容 例 下图所示电路，时以前，开关S闭合，已进入稳定状态；时，打开开关，求并讨论对波形的影响。 解 用等效S域模型简化电路分析。画出题图电路在时刻的S域等效元件模型，如下图所示 由题意知，所以 从而 进而有 取逆变换得到 根据上述分析可知，越大，波形在开关打开瞬间的幅值越大，但波形衰减得越快。 4.6系统函数 系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比称为系统函数，以表示。 一般情况下，若线性时不变系统的激励、零状态响应和冲激响应分别为，它们的拉氏变换分别为，则有下述关系： 例 求下面电路图所示的系统函数（网络函数） 解 由S域元件模型可得该电路的S域模型如下所示 由该S域模型可得： 4.7系统函数的零、极点的时域特性 （一）定义 分母多项式之根构成极点，分子多项式之根构成零点。 （二）零、极点分布特性 若极点位于S平面坐标原点，则冲激响应为阶跃函数； 若极点位于S平面正实轴上，则冲激响应为指数衰减形式；若极点位于S平面负实轴上，则冲激响应为指数增长形式； 若极点是位于S平面坐标轴的虚轴上的共轭极点，则冲激响应为等幅震荡； 若极点是位于S平面左半平面上的共轭极点，则冲激响应为减幅震荡；若极点是位于S平面右半平面上的共轭极点，则冲激响应为增幅震荡 若的极点落在S平面的左半平面，则波形为衰减形式； 若的极点落在S平面的右半平面，则波形为增长形式； 落在虚轴上的一阶极点对应的成等幅震荡或阶跃； 落在虚轴上的二阶极点将使呈增长形式； 一般情况下，对于稳定系统，其所有极点均位于S平面的左半平面。 4.8 系统函数的零、极点的频响特性 （一）定义 频响特性是指系统在正弦信号激励之下稳态响应随信号频率的变化情况。 （二）表示 式中，是幅频响应特性， 是指相频响应特性。 S平面几何分析 根据系统函数在S平面零、极点分布可以绘制频响特性曲线，它包括幅频特性曲线和相频特性曲线，下面简单介绍该方法： 在S平面正确表示出的各个零、极点； 在S平面坐标轴虚轴的正半轴部分任取一点，由各个零、极点向虚轴上的点作矢量； 将每个零点矢量表示成形式，将每个极点矢量表示成形式。其中，分别表示第个零点矢量的模和第个极点矢量的模，而分别表示第个零点矢量的辐角和第个极点矢量的辐角，此处辐角是指各矢量与坐标轴实轴正方向所形成的夹角。 由此可得 当点沿着虚轴移动时，上述各矢量的模和辐角都随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。 注：对不存在的零点或者极点将其视作模为1而辐角为0处理。 例 下图所示网络中，。 写出电压转移函数； 画出S平面零、极点分布图； 大致画出幅频特性曲线和相频特性曲线； 求冲激响应和阶跃响应。 解 （1）根据分压原理有 （2）无零点，在有一对共轭的一阶极点，其零、极点分布如下图所示： （3）其幅频特性曲线和相频特性曲线大致如下图所示 （4）系统冲激响应 阶跃信号的拉氏变换，所以阶跃响应的拉氏变换 故有 4.9 全通函数与最小相移函数 （一）定