应用统计全集PPT详解.ppt

选用贝叶斯假设 ，则 第一、在二项分布时， 的最大后验估计就是经典统计中的极大似然估计，即 的极大似然估计就是取特定的先验分布下的贝叶斯估计。 第二、 的后验期望值估计要比最大后验估计更合适一些。 表3.1列出四个实验结果,在试验1与试验2中,“抽检3个产品没有一件不合格”与抽检10个产品没有一件是不合格”这两件事在人们心目中留下的印象是不同的。后者的质量要比前者的质量更信得过。 * 试验号 样本量n 不合格数x 1 3 0 0 0.200 2 10 0 0 0.083 3 3 3 1 0.800 4 10 10 1 0.917 表6.1 不合格率 的二种贝叶斯估计的比较 * 在试验3和试验4中，“抽检3个产品全部不合格”与抽检“10个产品全部不合格”也是有差别的。在实际中，人们经常选用后验期望估计作为贝叶斯估计。 2.贝叶斯估计的误差 设 是 的一个贝叶斯估计，在样本给定后， 是一个数，在综合各种信息后， 是按 取值，所以评价一个贝叶斯估计的误差的最好而又简单的方式是用θ对 的后验均方差或平方根来度量，定义如下： 称为 的后验均方差,而其平方根称为后验标准差. 定义6.2 设参数θ的后验分布为 , 贝叶斯估计为 , 则 * 当 时,则 ,称为后验均方差. 后验均方差与后验方差有如下关系: 这表明,当 时,可使后验均方差达到最小,实际中常取后验均值作为 的贝叶斯估计值. * 例2 设一批产品的不合格率为 ,检查是一个一个进行,直到发现第一个不合格品为止,若X为发现第一个不合格品时已检查的产品数,则X服从几何分布,其分布列为 设 的先验分布为 , 如今只获得一个样本观察值x=3,求 的最大后验估计,后验期望估计,并计算它的误差. 联合分布为 X=3的无条件概率为(利用全概率公式) * 故 或 可看出, 的最大后验估计 的后验方差为 * 3.区间估计(可信区间) 对于区间估计问题,贝叶斯方法具有处理方便和含义清晰的优点,而经典方法求置信区间常受到批评. 定义6.3 参数 的后验分布为 , 对给定的样本 和概率 , 若存在这样的二个统计量 与 , 使得 则称区间 为参数的可信水平为 贝叶斯可信区间,或简称为 的 可信区间.而满足 * 的 称为 的 (单侧)可信下限. 满足 的 称为 的 (单侧)可信上限. 这里的可信水平和可信区间与经典统计中的置信水平与置信区间虽是同类的概念,但两者还是有本质的差别,主要表现在下面二点: 1.??在条件方法下,对给定的样本 和可信水平 ,通过后验分布可求得具体的可信区间,譬如, 的可信水平为0.9的可信区间是 ,这时我们可以写出 * 2.在经典统计中寻求置信区间有时是困难的,因为它要设法构造一个枢轴量,使它的分布不含未知参数,这是一项技术性很强的工作.相比之下可信区间只要利用后验分布,不需要再去寻求另外的分布, 可信区间的寻求要简单得多. 例3 设 是来自正态总体 的一个样本观察值,其中 已知,若正态均值的先验分布取为 ,其中 与 已知,则可求得 的后验分布为 ,由此获得 的 可信区间 * EX1 设随机变量X的密度函数为 (1)假如θ的先验分布为U(0,1),求θ的后验分布. (2)假如θ的先验分布为 求θ的后验分布及后验期望估计 * 6.2 贝叶斯决策方法 决策就是对一件事作决定。它与推断的差别在于是否涉及后果。统计学家在作推断时是按统计理论进行的，但很少考虑结论在使用后的损失。可决策者在使用推断时必需与得失联系在一起，能带来利润的就会使用，使他遭受损失的就不会采用，度量得失的尺度就是损失函数。它是著名的统计学家A.Wald（1902－1950）在40年代引入的一个概念。从实际归纳出损失函