B_6_3_6.3-子群及其陪集课件.ppt

注意：有些书上把右陪集称做左陪集。 陪集性质（6）可从性质（5）推得。 * * 四、陪集 定义6.4.4. 群G在合同关系（右模H）下的一个等价类叫做H的一个右陪集。 可见，a所在的右陪集为aH={ah|h∈H}。 同样，可以定义a合同于b（左模H）：a≡b（左modH）和H的左陪集。 四、陪集 例22．设G是整数加法群。H是m的所有倍数作成的子群，因为加法适合交换律，所以左右之分不存在，因而，（左mod H） 和（右mod H）是一样的，左右陪集也是一样的。 a≡b（mod H）， 即 a=b+h(h∈H), 亦即， a=b+km, 故 a≡b（mod m）。 可见，H的陪集就是模m的剩余类。 四、陪集 例23．设G是所有非0复数的乘法群，所有其∣z∣=1的复数z=eiθ作成G的一个子群H。 a≡b（mod H）等于说∣a∣=∣b∣。 在复平面上，H相当于单位圆，H的所有陪集相当于以原点为圆心的所有同心圆。 四、陪集 定理6.4.7设H是群G的有限子群，则H的任意右陪集aH的元数皆等于H的元数。 证明： aH={ah│h∈H}，又G中有消法律：由ax=ay可以推出x=y， 故H中不同元素以a左乘仍得不同的元素。因而aH的元数等于H的元数。■ 求陪集的简单方法 若G是一个有限群，求H的右陪集： （1）首先，H本身是一个； （2）任取a?H而a∈G，求aH，又得到一个； （3）任取b?H∪aH而b∈G，求bH，又得到一个。如此类推，因G有限，最后必被穷尽，这样 G=H∪aH∪bH∪…。 四、陪集 例24．设G是3次对称群： {1,（1 2）,（1 3）,（2 3）,（1 2 3）,（1 3 2）}， H：{1,（12）}， H有三个右陪集： {1,(1 2)}，{(1 3),(1 2 3)}，{ (2 3), (1 3 2) }。 H有三个左陪集： {1,(1 2)}，{(2 3), (1 2 3)}，{(1 3), (1 3 2)} 四、陪集 陪集的性质 （1）若H为G的有限子群，则|aH| = |H|。 （2）H本身也是H的一个右陪集。 （3）a在陪集aH中。 根据这点，把a叫做右陪集aH的一个陪集代表。 （4）aH=H的充分必要条件是a∈H。 （5）对于右陪集aH中任意元素b，都有aH=bH。 证明：由b∈aH知，存在h∈H，使得b=ah。 因此，bH=ahH=a（hH）=aH。 ■ 四、陪集 陪集的性质 （1）若H为G的有限子群，则|aH| = |H|。 （2）H本身也是H的一个右陪集。 （3）a在陪集aH中。 根据这点，把a叫做右陪集aH的一个陪集代表。 （4）aH=H的充分必要条件是a∈H。 （5）对于右陪集aH中任意元素b，都有aH=bH。 这点说明右陪集aH中任一元素都可以取做陪集代表。 四、陪集 陪集的性质 （1）若H为G的有限子群，则|aH| = |H|。 （2）H本身也是H的一个右陪集。 （3）a在陪集aH中。 根据这点，把a叫做右陪集aH的一个陪集代表。 （4）aH=H的充分必要条件是a∈H。 （5）对于右陪集aH中任意元素b，都有aH=bH。 这点说明右陪集aH中任一元素都可以取做陪集代表。 （6）aH=bH的充分必要条件是a-1b∈H。 四、陪集 陪集的性质 （1）若H为G的有限子群，则|aH| = |H|。 （2）H本身也是H的一个右陪集。 （3）a在陪集aH中。 根据这点，把a叫做右陪集aH的一个陪集代表。 （4）aH=H的充分必要条件是a∈H。 （5）对于右陪集aH中任意元素b，都有aH=bH。 这点说明右陪集aH中任一元素都可以取做陪集代表。 （6）aH=bH的充分必要条件是a-1b∈H。 （7）任意两个右陪集aH和bH或者相等或者不相交。 证明：如果aH和bH不相交，则它们包含公共元素c，即c∈aH，且c∈bH。 因此，由（5）得aH=cH，且bH=cH。故aH=bH。■ 四、陪集 陪集的性质 （1）若H为G的有限子群，则|aH| = |H|。 （2）H本身也是H的一个右陪集