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购房贷款问题 摘要 随着我国改革开放的发展和人民生活水平的提高，人们越来越不满足于只是吃饱、穿暖，而是向更高的目标迈进，房子自然成了人们渴求的目标。另外，从某种意义上来说，人类文明的进程就是建筑和城市化的过程，从原始洞穴发展到现代摩天大厦，体现了人类的进步。人类对居所的投资，直接为劳动力的再生产提供了最基本的生活资料，从而直接为社会劳动生产力的延续与发展创造了物质载体。 近几年，我国经济快速发展，社会传统的房屋卖买方式受到较大冲击而日趋缩萎，取而代之的银行按揭贷款买房成为新的购房趋势,并日渐盛行。这对现代社会的消费及生活所产生的积极意义与便利是不容抹杀。目前银行提供的贷款期限在一年以上的房屋贷款还款方式一般等额本息还款法、等额本金递减法，等额递增还款法，等额递减还款法，等比递增还款法，等比递减还款法。面对这些贷款还款方式，如何根据自己的现在及预期未来的收入情况，作出一个合理的还款方案，是每个打算贷款买房的人所必须认真考虑。 在本次购房贷款问题中所列举的案例，李四夫妇计划向银行贷款30万元来买房，并以20年作为还请贷款的期限，在还款过程中，根据银行利率以及李四夫妇经济情况的改变，可采用等额本息还款，等额递增还款法等不同方式，考虑到这些因素，我们运用数学建模的方法，通过建立相关的购房贷款模型，结合实际情况对各种还款方式进行分析比较，从而得出最佳方案。 关键词 : 购房贷款 等额本息还款 等额递增还款 问题重述 一对夫妇计划贷款30万元购买一套房子，在考虑到目前的经济情况和收支情况后，他们打算用20年的时间还清贷款。在这20年间，他们总体采用等额本息还款的方式（即每月的还款额相同）偿还贷款。 但随着银行带款利率的变动以及自身经济状况的改变，在还款年限不变的前提下，他们每月还款额将相应的发生变化；同时如果在一段时间后这对夫妇有能力还清剩余贷款时，我们要计算余下的贷款额确定还款额。 问题分析 李四夫妇贷款购买房子，在一定年限内必须还清贷款。在还款的过程中，制定的是按月还款。把连续性的问题离散化，所以我们根据差分方程对这一问题进行建模分析。 问题一在银行利率不变的情况下，每月等额本息还款 问题二在问题一的基础上，先是每月等额本息还款，然后一次性付清剩余贷款。 问题三、四根据利率调整，分段考虑还款数额。 问题五分段等额本息还款之后，一次性付清剩余贷款额 问题六涉及等额递增还款和一次性付清 问题七在问题六的基础上又考虑到银行利率变动的问题。 问题假设与记号 假设：①假设外界因素的影响不改变还款期限； ②假设货币价值在贷款期限内不受外界因素影响，即不会发生升值或贬值； ③假设在一定时间内，银行贷款利率固定不变，不受经济危机、通货膨胀、国家政策的影响； ④银行利息按复利计算； 记号：A(元)为贷款额（本金），n(月)为贷款期限，r为月利率(, , )，B（月）(,)为月均还款额，R(元)为总利息( , )，Ck为第k 个月还款后的欠款。 模型建立与求解 1、模型建立 离散变量=(1+r)-B = A ，=0 =-B[1+(1+r)+……+] =A-[-1],k=0,1,2…… 解得每月还款额：B=A ①每月等额本息还款 B=A ②利息等于还款总额减去贷款总额 =nB-A (2) 10年零7个月后一次性还清贷款 =A-[-1], k=127 (3) 银行利率变动使得第三年后的等额还款B产生变动=A-[-1], k=36; = (4) 银行利率变动使得第七年后的等额还款B产生变动=A-[-1], k=36 = -[-1], k=48 = (5)在银行利率变动之后的的43个月以后，一次性付清余下贷款=A-[-1], k=36 =-[-1], k=48 =-[-1], k=43 每五年为一个还款时间段，后一时间段比前一时间每月多还款400元,设 b为第一阶段每月还款数额 ①=A-[-1], k=60 =-[-1], k=60 =-[-1], k=60 =-[-1], k=60 =0 →b ② 第一阶段每月还款b 第二阶段每月还款b+400 第三阶段每月还款b+800 第四阶段每月还款b+1200 ③=60(4b+2400）-A ④=A-[-1],k=60 =-[-1], k=60 =-[-1], k=7 (7)在第6题的基础上，第四年利率下降0.1个百分点，第八年利率又开始上升0.3个百分点，研究以后每个时间段的月还款额。 ① d为从第八至十年每月还款额，以后每五年递增 =A-[-1], k=36 = -[-1]，k=24 = -[ -1]，k=24 = -[-1]，k=36 = -[-1]，k=60 = -[-1]，k=60 =0 →d ②=A-[-1], k=36 = -[-1]，k=24