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第十二章 回归分析 第一节 线性回归模型的建立方法 回归分析是探讨变量间数量关系的一种常用统计方法。它通过建立变量间的数学模型对变量进行预测和控制。 用一定模型来表述变量相关关系的方法就称为回归分析。 一、回归分析与相关分析的关系 回归分析和相关分析均为研究及度量两个或两个以上变量之间关系的方法。从广义说，相关分析包括回归分析，但严格地讲，二者有区别。 回归分析是以数学方式表示数量间的关系，而相关分析则是检验或度量这些关系的密切程度，两者相辅相成。如果通过相关分析显示出变量间的关系非常密切，则通过所求得的回归模型可获得相当准确的推算值。 根据不同目的，可以从不同角度去分析变量间的关系。确定变量之间是否存在着关系，这是回归与相关分析的共同起点。当旨在分析变量之间关系的密切程度时，一般使用相关系数，这个过程叫相关分析。倘若研究的目的是确定变量之间数量关系的可能形式，找出表达它们之间依存关系的合适数学模型，并用这个数学模型来表示这种关系形式，则叫做回归分析。 二、回归模型与回归系数 三、回归模型建立方法 建立回归模型实际上就是根据已知两变量的数据求回归方程。如果两个变量之间存在着线性关系，则两个变量间的关系就可以拟合直线模型。 建立一元线性回归方程 ，关键在于求a和b。 （一）平均数方法 （二）最小二乘法 所谓最小二乘法，就是如果散点图中每一点沿Y轴方向到直线的距离（即 ）的平方和最小，简单讲就是使误差的平方和最小，则在所有直线中这条直线的代表性就是最好的，它的表达式就是所要求的回归方程。 三、回归模型建立方法 例：一元线性回归方程的计算例1 假定我们把某一试验进行了5次，得到的数据如下表所示，试求该一元线性回归方程。 解:⑴列出回归方程计算表(见下表) ⑵计算a和b 四、回归系数与相关系数的关系 五、线性回归的基本假设 1.线性关系假设 2.正态性假设 指回归分析中的Y服从正态分布。 3.独立性假设 包含两个意思： ①与某一个X值对应的一组Y值和与另一个X值对应的一组Y值之间没有关系，彼此独立。 ②误差项独立，不同的X所产生的误差之间应相互独立，无自相关。 4.误差等分散性假设 特定X水平的误差，除了应呈随机化的常态分配，其变异量也应相等，称为误差等分散性。 第二节 回归模型的检验与估计 一、回归模型的有效性检验 回归模型的有效性检验，就是对求得的回归方程进行显著性检验，看是否真实地反映了变量间的线性关系。 二、回归方程的有效性检验的原理： 观测值 之间的参差不齐是由以下两方面原因造成的： ①Y对X有依存关系,由于X取值的不同,Y值应不同,这个差异反映了回归的效果。 ②随机误差的影响。（如试验误差、测量误差） 为区分这两种误差，则需把Yi间的差异按以上两个来源进行分解： 证明： 上式中： 是误差平方和，也是剩余平方和，它是随机误差的反映； 是回归平方和。 考查回归效果是否显著，则是考查SST的两个部分SSR和SSE中，哪个是主要的。即需要进行F检验。 若FF临,则说明回归平方和显著大于误差平方和，即回归方程有意义。若检验不显著时，可能有以下原因：①除X外,还有其它重要因素影响Y的取值;②Y对X不是线性关系;③Y与X无明显依存关系;④X变动的范围太小,以至它对Y的调节作用没能表现出来. 三、回归有效性检验的应用（例3） 例3 检验例1的回归方程Y=0.29X+34.32的显著性 解:⑴计算离差平方和: ⑵做F检验: 四、回归系数的显著性检验 五、测定系数 一元线性回归方程经方差分析 后被判定为具有有效性，只能说明这个回归方程有别于无价值的方程，没有指出这个方程有效性程度的高低。则需求其测定系数来刻化回归方程的有效性的高低。测定系数的公式为： 可见， 反映了回归平方和在总离差平方和中占的比重，该比重越大，误差平方和在总离差平方和中占的分量就越小。在回归分析中，我们自然希望由自变量所决定的离差平方和（回归平方和）在总离差中所占的比例越大越好。因此，可以把 作为回归有效性高低的指标。 证明：见张厚粲教材P377 第三节 一元线性回归分析的预测 预测分为点预测（点估计）和区间预测（估计）。 点预测很简单，即给定自变量XP，则可得到一个 。 区间估计：区间估计的公式： 例4 继续本节例1 ，若X