摄动方法讲义.pdf

第1 章 引 论 科学研究和工程中经常需要将一个函数写成在给定的参数或变量附近的近似表达式， 这里函数可以是已知的、或某个方程的解。用摄动 （渐近）方法求函数的近似表达式，是本 书的主题。按这些方法，解用一个渐近展开式（参见1.4 节）头几项表示。此展开式可以按 方程中所含有的参数引入，称为参数摄动；也可以按坐标引入，称为坐标摄动。 1.1 参数摄动和坐标摄动 1. 参数摄动例 例1.1 考虑含小参数 的代数方程 3 x x 1 0 (1.1.1) 的解。 当 0 时，解为x 1 。现求 1时，1 附近的解。假定 2 x 1x  x  (1.1.2) 1 2 代入(1.1.1) 式 2 3 2 (x 1)  (x 3x )  (x 3x 3x )  0 (1.1.3) 1 2 1 3 2 1 由于上式应当对所有 都成立，从而各阶 的系数均为零，解得  2 3 x 13 12  (1.1.4) 例1.2 考虑下列常微分方程 2 x x( x 1) x 0 (1.1.5) 的解。 当 0 时，解为x a cos(t ) 。现求 1时，x a cos(t ) 附近的解。假定 2 x(t ;) x (t ) x (t )  x (t )  (1.1.6) 0 1 2 式中x0 a cos(t ) ，代入(1.1.5) 得 d2 x d2 x  d2 x  0 1 2 2 x  x  x  2 0  2 1   2 2  d t  d t   d t  (1.1.7) 2 d x0 2  2 d x1