微专题----椭圆中斜率乘积为的问题详解.doc

椭圆中斜率乘积为的问题 【热身训练】 1. 设是椭圆的上下两顶点，是椭圆上异于的任一点，直线与轴相交于点求证：为定值 . 2. 平面直角坐标系系xOy中，过椭圆M：＋＝1(ab0)右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB中点且OP的斜率为，则椭圆M的方程为 . 【例题精讲】 例1：已知椭圆，点，为坐标原点． （I）若是椭圆上任意一点，，求的值； （II）设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由． 变题1：椭圆上异于顶点的点，若是椭圆上异于任意一点，满足，且，求的值. 变题2：如图，椭圆的中心为原点，离心率 ，一条准线的方程为. （1）求该椭圆的标准方程； （2）设动点满足:,其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点,使得为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 变题3：已知椭圆，设是椭圆上异于顶点的两个动点，且的面积是1，试探究是否为定值． 【课后练习】 1. 设点P是椭圆上的任意一点(异于左,右顶点A,B)，直线分别交直线与点M,N，求证:. 2. 如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，从原点向圆作两条切线分别与椭圆交于点，直线的斜率分别记为. （1）若圆与轴相切于椭圆的右焦点，求圆的方程； （2）若. ①求证：；②求的最大值；③试探究是否为定值.. 【热身训练】 1. 设是椭圆的上下两顶点，是椭圆上异于的任一点，直线与轴相交于点求证：为定值 . 2. 平面直角坐标系系xOy中，过椭圆M：＋＝1(ab0)右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB中点且OP的斜率为，则椭圆M的方程为 . 【例题精讲】 例1：已知椭圆，点，为坐标原点． （I）若是椭圆上任意一点，，求的值； （II）设是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由． 解：（Ⅰ），得 ，，即 （II）（解法一）由条件得，，平方得, 即 = 故的面积为定值 （解法二）①当直线的斜率不存在时，易得的面积为 ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为 由，可得， 又，可得 因为，点到直线的距离 综上：的面积为定值2 变题1：椭圆上异于顶点的点，若是椭圆上异于任意一点，满足，且，求的值. 解：设， 由，有， 因为是椭圆上任意一点，所以有， 即 因为椭圆上异于顶点的点，所以， 所以， 因为，所以， 因为椭圆上异于顶点的点，所以，所以， 所以，即. 变题2：如图，椭圆的中心为原点，离心率 ，一条准线的方程为. （1）求该椭圆的标准方程； （2）设动点满足:,其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点,使得为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（1）由，＝2，解得，， 故椭圆的标准方程为. （2）设,则由, 得， 因为椭圆上的点，所以， 故 因为直线与的斜率之积为，即，也即， 所以，所以，即， 所以点是椭圆上的点．设该椭圆的左、右焦点为， 则由椭圆的定义有为定值，又因为， 因此两定点的坐标为． 变题3：已知椭圆，设是椭圆上异于顶点的两个动点，且的面积是1，试探究是否为定值． 解：①当直线的斜率不存在时，设,则可得的面积为，所以，即， 所以， ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为 由，可得， 因为，点到直线的距离 可得，所以， 综上：为定值． 设点P是椭圆上的任意一点(异于左,右顶点A,B)，直线分别交直线与点M,N，求证:. 证明：设则，，所以， 设，则， 所以，即 2. 如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，从原点向圆作两条切线分别与椭圆交于点，直线的斜率分别记为. （1）若圆与轴相切于椭圆的右焦点，求圆的方程； （2）若. ①求证：；②求的最大值；③试探究是否为定值. 解：（1）因为椭圆右焦点的坐标为，所以圆心的坐标为， 从而圆的方程为. （2）①因为圆与直线相切，所以， 即， 同理，有， 所以是方程的两根， 从而. ②设点，联立，解得， 同理，， 所以 ， 当且仅当时取等号. 所以的最大值为. x O · y M P Q x O · y M P Q