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教育统计与测量详解
第五章 概率及概率分布 第一节 概率的一般概念 一、概率的定义 1.后验概率 ——以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率值作为随机事件A概率的估计值而寻得的概率称为后验概率。它是用随机事件A出现的频率估计的。所以称为后验概率或统计概率。例如,抛一枚质地均匀的硬币,正面朝上(随机事件A)。 抛掷硬币试验中正面朝上的频率 2.先验概率 ——是在特定条件下根据古典概率模型直接计算出来的,又称为古典概率。 古典概率模型要求满足两个条件: (1)试验的所有可能结果是有限的 (2)每一种可能结果出现的可能性(概率)相等。 二、概率的性质 1.任何随机事件A的概率都是在0和1之间的正数,0≤P(A)≤1; 2.不可能事件的概率等于0,P(V)=0。如新生儿会讲话的概率为0; 3.必然事件的概率等于1,P(U)=1。如健康儿童语言产生和发展的概率为1。 三、概率的加法和乘法 1.概率的加法 (1)两个互不相容事件和的概率,等于这两个事件概率之和(在一次试验中不可能同时出现的事件称为互不相容事件)。 P(A+B)=P(A)+P(B) (2)有限个互不相容事件和的概率,等于这些事件的概率和。 2.概率的乘法 (1)两个独立事件积的概率,等于这两个事件概率的乘积。 P(A。B)=P(A)P(B) (2)有限个独立事件积的概率,等于这些事件概率的乘积。 第二节 正态分布 一、正态曲线 1.正态曲线函数 (1)几个平均数相同的正态分布,标准差大的,形态低阔,标准差小的,形态高狭。 (2)把横轴的记分由原始分X改为标准分Z,将Y轴的尺度由频数改为频率(频率总和为1代替了频数总和为N),形成平均数为0,标准差为1的标准正态曲线分布函数。 2.正态曲线的特点 (1) 曲线在Z=0处为最高点; (2) 曲线以Z=0处为中心,两侧对称; (3) 曲线从最高点向左右缓慢下降,并无限延伸,但永不与基线相交; (4) 标准正态分布上的平均数为0,标准差为1。基线上从Z=-3到Z=3几乎有6个标准差的距离; (5) 曲线从最高点向左右延伸时,拐点位于正负一个标准差处。在正负1个标准差之内,既向下又向内弯。从正负1个标准差开始,既向下又向外弯。 二、正态曲线的面积与纵线 1.累积正态分布函数 2.标准正态曲线下面积的求法 (1)表内仅列出标准正态曲线下的面积 (2)表内仅载有从Z=0到右边Z值之间的面积 (3)表中间的数值均表示Z=0到某个Z值之间的面积 A:已知Z值求面积 a.求Z=0至某一Z值之间的面积 b. 求两个Z值之间的面积 c.求某一Z值以上或以下的面积 B:已知面积求Z值 a.求Z=0以上或以下某一面积相对应的Z值 b. 求与正态曲线上端或下端某一面积相对应的Z值 c.求与正态曲线下中央部位某一面积相对应的Z值 3.正态曲线的纵线 (1)已知Z值求纵线高度 (2)已知面积求纵线高度 三、正态分布在测验记分方面的应用 1.将原始分数转换成标准分数 2.确定录取分数线 3.确定等级评定的人数 4.品质评定数量化 (1)计算张老师所评定的各等级人数比率 (2)计算本组1/2面积与本组以下面积之和 (3)计算本组面积的平分点至Z=0之间的面积 (4)求评分各块面积的中位数 第六章 抽样分布及总体平均数的推断? 第一节 抽样分布 一、抽样分布的概念 总体分布:总体内个体数值的频数分布 样本分布:样本内个体数值的频数分布 抽样分布:某一种统计量的概率分布 抽样分布是一个理论得概率分布,是统计推断得理论依据。 二、平均数抽样分布的几个定理 从总体中随机抽出的容量为n的一切可能样本的平均数之平均数等于总体平均数。 E(X)= μ 容量为n的平均数在抽样分布上的标准差等于总体标准差除以n的平方根 从正态总体中随机抽取容量为n的一切可能样本平均数的分布也呈正态分布。 如果总体不呈正态分布,但样本容量较大,反映总体标准差(σ)和总体平均数(μ)的样本平均数的抽样分布也接近正态分布。 某种统计量在抽样分布上的标准差称为该种统计量的标准误。如平均数的标准误,标准差的标准误,相关系数的标准误。 三、样本平均数与总体平均数离差统计量的形态 从正态总体中随机抽取容量为n的一切可能样本平均数的分布也呈正态分布。 当总体标准差已知时,一切可能样本平均数与总体平均数的离差统计量呈标准正态分布。 当总体标准差未知,需用估计量S来代替,一切可能样本平均数与总体平均数的离差统计量呈t分布。 自由度(df)为1、5、∞的t分布 t分布特点 t分布基线上的t值从负无穷大到正无穷大 从平均数等于0处,左侧t值为负,右侧t值为正。 曲线以平均数为最高向两侧逐渐下降,尾部无限延伸,永不与基线
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