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第五章 概率及概率分布 第一节 概率的一般概念 一、概率的定义 1．后验概率 ——以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率值作为随机事件A概率的估计值而寻得的概率称为后验概率。它是用随机事件A出现的频率估计的。所以称为后验概率或统计概率。例如，抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上（随机事件A）。 抛掷硬币试验中正面朝上的频率 2．先验概率 ——是在特定条件下根据古典概率模型直接计算出来的，又称为古典概率。 古典概率模型要求满足两个条件： （1）试验的所有可能结果是有限的 （2）每一种可能结果出现的可能性（概率）相等。 二、概率的性质 1．任何随机事件A的概率都是在0和1之间的正数，0≤P（A）≤1； 2．不可能事件的概率等于0，P（V）＝0。如新生儿会讲话的概率为0； 3．必然事件的概率等于1，P（U）＝1。如健康儿童语言产生和发展的概率为1。 三、概率的加法和乘法 1．概率的加法 （1）两个互不相容事件和的概率，等于这两个事件概率之和（在一次试验中不可能同时出现的事件称为互不相容事件）。 P（A＋B）＝P（A）＋P（B） （2）有限个互不相容事件和的概率，等于这些事件的概率和。 2．概率的乘法 （1）两个独立事件积的概率，等于这两个事件概率的乘积。 P（A。B）＝P（A）P（B） （2）有限个独立事件积的概率，等于这些事件概率的乘积。 第二节 正态分布 一、正态曲线 1．正态曲线函数 （1）几个平均数相同的正态分布，标准差大的，形态低阔，标准差小的，形态高狭。 （2）把横轴的记分由原始分X改为标准分Z，将Y轴的尺度由频数改为频率（频率总和为1代替了频数总和为N），形成平均数为0，标准差为1的标准正态曲线分布函数。 2．正态曲线的特点 （1） 曲线在Z＝0处为最高点； （2） 曲线以Z＝0处为中心，两侧对称； （3） 曲线从最高点向左右缓慢下降，并无限延伸，但永不与基线相交； （4） 标准正态分布上的平均数为0，标准差为1。基线上从Z＝-3到Z＝3几乎有6个标准差的距离； （5） 曲线从最高点向左右延伸时，拐点位于正负一个标准差处。在正负1个标准差之内，既向下又向内弯。从正负1个标准差开始，既向下又向外弯。 二、正态曲线的面积与纵线 1．累积正态分布函数 2．标准正态曲线下面积的求法 （1）表内仅列出标准正态曲线下的面积 （2）表内仅载有从Z＝0到右边Z值之间的面积 （3）表中间的数值均表示Z＝0到某个Z值之间的面积 A：已知Z值求面积 a．求Z＝0至某一Z值之间的面积 b． 求两个Z值之间的面积 c．求某一Z值以上或以下的面积 B：已知面积求Z值 a．求Z＝0以上或以下某一面积相对应的Z值 b． 求与正态曲线上端或下端某一面积相对应的Z值 c．求与正态曲线下中央部位某一面积相对应的Z值 3．正态曲线的纵线 （1）已知Z值求纵线高度 （2）已知面积求纵线高度 三、正态分布在测验记分方面的应用 1．将原始分数转换成标准分数 2．确定录取分数线 3．确定等级评定的人数 4．品质评定数量化 （1）计算张老师所评定的各等级人数比率 （2）计算本组1/2面积与本组以下面积之和 （3）计算本组面积的平分点至Z＝0之间的面积 （4）求评分各块面积的中位数 第六章 抽样分布及总体平均数的推断? 第一节 抽样分布 一、抽样分布的概念 总体分布：总体内个体数值的频数分布 样本分布：样本内个体数值的频数分布 抽样分布：某一种统计量的概率分布 抽样分布是一个理论得概率分布，是统计推断得理论依据。 二、平均数抽样分布的几个定理 从总体中随机抽出的容量为n的一切可能样本的平均数之平均数等于总体平均数。 E（X）＝ μ 容量为n的平均数在抽样分布上的标准差等于总体标准差除以n的平方根 从正态总体中随机抽取容量为n的一切可能样本平均数的分布也呈正态分布。 如果总体不呈正态分布，但样本容量较大，反映总体标准差（σ）和总体平均数（μ）的样本平均数的抽样分布也接近正态分布。 某种统计量在抽样分布上的标准差称为该种统计量的标准误。如平均数的标准误，标准差的标准误，相关系数的标准误。 三、样本平均数与总体平均数离差统计量的形态 从正态总体中随机抽取容量为n的一切可能样本平均数的分布也呈正态分布。 当总体标准差已知时，一切可能样本平均数与总体平均数的离差统计量呈标准正态分布。 当总体标准差未知，需用估计量S来代替，一切可能样本平均数与总体平均数的离差统计量呈t分布。 自由度（df）为1、5、∞的t分布 t分布特点 t分布基线上的t值从负无穷大到正无穷大 从平均数等于0处，左侧t值为负，右侧t值为正。 曲线以平均数为最高向两侧逐渐下降，尾部无限延伸，永不与基线