数值分析线性方程组的实验报告包含代码详解.doc

线性代数方程组的直接解法 实验目的： 线性方程组求解的直接法编程实现 线性方程组求解的主元素消去法算法实现 线性方程组求解的LU分解得方法算法实现 线性方程组求解追赶法算法实现 实验比较：高斯消去、主元素消去、LU分解都用实例 这个进行比较。 知识理论 解线性方程组的方法大致分为直接法和迭代法。直接法是指假设计算过程中不产生舍入误差，经过有限次的运算可求的方程组精确解的方法。 方程（2-1） 记为：AX=b； 一、高斯（Gauss）消元法 (1).Gauss消元法是最基本的一种方法。先逐次消去变量，将方程组化成同解的上三角方程组。 消元过程：先逐次消去变量，将方程组化成同解的上三角方程组 基本思想 回代过程：按方程的相反顺序求解三角形方程组，得到原方程组的解。 (2) Gauss消去法的求解思路为： 若先让第一个方程组保持不变，利用它消去其余方程组中的,使之变成一个关于变元的n-1阶方程组。按照（1）中的思路继续运算得到更为低阶的方程组。经过n-1步的消元后，得到一个三角方程。利用求解公式回代得到线性方程组的解。 消元过程：第一次消元， （i=1,2,3……，n）.将（2-1）中第i个方程减去第一个方程乘以（i=1,2,3……，n），完成第一次消元， （2-2） 其中：； ： 简记为： 其中： 按上述方法完成n-1次消元后得到。同解的三角方程组： 简记为： 回代过程： 按逆序逐步回代得到方程的解。 （3）算法： （5）Matlab程序代码： function [RA,RB,n,X]=gaus(A,b) B=[A,b]; n = length(b); RA = rank(A); RB= rank(B); zhicha = RB-RA; if(zhicha~=0) disp(因为RA≠RB，所以此方程组无解); return; end if RA==RB if RA == n disp(因为RA=RB=n,所以此方程有唯一解); X=zeros(n,1); for p = 1:n-1 for k = p+1:n m = B(k,p)/B(p,p); B(k,p:n+1)=B(k,p:n+1)-m*B(p,p:n+1); end end b = B(1:n,n+1); A = B(1:n,1:n); X(n) =b(n)/A(n,n); for q = n-1:-1:1 X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q); end else disp(因为RA=RBn,所以此方程有无穷解); end end 运行检测： A=[1 1 1;12 -3 3;-18 3 -1]; b=[6;15;-15]; [RA,RB,n,X]=gaus(A,b) 因为RA=RB=n,所以此方程有唯一解 RA = 3 RB = 3 n = 3 X = 1.0000 2.0000 3.0000 二、 主元素法 1.列主元素法消元 (1)基本思想：在每次消元前，在要消去未知数的系数中找到绝对值最大的系数作为主元，通过对换行将其换到对角线上，然后进行消元. (2)消元过程： 与Gauss很类似，每次对对角线换成最大的值，后面过程与Gauss基本相同。 如此经过n-1步,（2-1）的增广矩阵[A,b]被化为上三角矩阵； 回代过程： 同Gauss算法一样回代求解。 (3)算法： det-1 对于k=1,2,3,…n-1; |aik,k|=max|aik|(k≤i≤n) (i)如果aik=0,则停止计算（det(A)=0） (ii)如果aik=k,则zhuan（i） 换行 akj-- aik,j(j=k,k+1,…n) bk-- bik 后边就是Gauss消元 (4).Matlab程序 function X=liezhu(A,b) B=[A,b]; n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B); if RA==RB if RA==n disp(因为系数矩阵与增广矩阵的秩相同且为n，此方程有唯一解) X=zeros(n,1); for p=1:n-1 [y,j]=max(abs(B(p:n,p)));