数学·必修2(苏教版)课件：第2章2.3-2.3.2空间两点间的距离详解.ppt

第2章　平面解析几何初步 2.3 空间直角坐标系 2．3.2　空间两点间的距离[情景导入]　如下图所示一只小蚂蚁站在水泥构件点O处在A处放有食物建立适当的空间直角坐标系可以告诉小蚂蚁食物的准确位置．你能告诉它怎样才能在最短的时间内取到食物吗？[学习目标]　1.掌握空间中两点间的距离公式(重点).2.会用空间中两点间的距离公式1．若在空间直角坐标系O中点P的坐标是(x)，则P到坐标原点O的距离|OP|＝在空间直角坐标系O中设点P(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点则P与P之间的距离|P＝在空间直角坐标系O中点P(x)到平面xOy的距离为|z到x轴的距离为 空间两点间的距离公式(1)空间两点间的距离公式的推导思路．思路一：当两点连线与坐标平面不平行时过两点分别作三个坐标平面的平行平面转化为求长方体的对角线长从而只要写出交于一个顶点的三条棱长即可而棱长可在平面内用平面上两点间的距离公式求得．思路二：作线段在三个坐标平面上的正投影把空间问题转化为平面问题加以解决．(2)坐标法求解立体几何问题时的三个步骤：①在立体几何图形中建立空间直角坐标系；②依题意确定各相应点的坐标；③通过坐标运算得到答案．题型1　空间中两点间距离的计算[典例1]　如图所示已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a为BD′的中N在A′C′上且A′N＝3NC′试求MN的长．分析：解答本题关键是先建立适当的坐标系把M两点的坐标表示出来再利用公式求长度．解：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系．因为正方体棱长为a所以B(a)，A′(a，0，a)，C′(0，a，a)，D′(0，0，a)．由于M为BD′的中点取A′C′的中点O′连接所以M. 因为A′N＝3NC′所以N为A′C′的四等分点从而N为的中点故N根据空间两点距离公式可得＝ ＝规律总结利用空间两点间的距离公式求空间两点间距离的步骤：建立适当的坐标系并写出相代入空间两点间的距离公式求值．[变式训练]在空间直角坐标系中在z轴上求一点C使得点C到点A(1)与点B(1)的距离相等．解：设点C的坐标为(0)，由题意可知AC＝BC即 ＝解得z＝1.所以C的坐标为(0)．题型2　空间两点间距离公式的应用[典例2]　已知A(x－x－1)(1，x＋2－x)求AB取最小值时A两点的坐标并求此时的AB的长度．分析：解答本题可由空间两点间的距离公式建立关于x的函数由函数的性质求x再确定坐标．解：由空间两点间的距离公式得AB＝＝当x＝时有最小值＝此时A. 规律总结解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关系再结合已知条件确定点的坐标．[变式训练]已知点A(2)，B(1－m－m)，则AB的最小值为______．解析：因为AB＝＝＝ 所以当m＝时取得最小值答案：题型3　由距离公式确定点的坐标或相关方程[典例3]　平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆其方程为x＋y＝1.在空间中到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么？试写出它的轨迹方程．分析：本题涉及的是求空间点的轨迹问题可类比在平面解析几何中的求轨迹或轨迹方程问题建立坐标之间的关系即可．解：设空间直角坐标系O中任意一点P的坐标是(x)，则由两点间距离公式可知PO＝＝1即x＋y＋z＝1故在空间中到坐标原点的距离为1的点的轨迹是以坐标原点为圆心、半径为1的球面．规律总结理解公式的内涵是灵活运用的关键．空间中两点间的距离公式提供了进行数形结合思维训练的平台因此不仅要注意公式的外在表[变式训练]已知A(3)，B(1，0，4)，求到A两点距离相等的点P(x)的坐标x满足的条件并指出方程表示什么图形．解：由P(x)到A两点的距离相等得＝化简得4x＋4y－6z＋3＝0.即到A两点的距离相等的点的坐标(x)满足的条件是4x＋4y－6z＋3＝0.方程表示的图形是线段AB的垂直平分面．