数学物理方法第4章留数定理-2016详解.ppt

§4.1.0 复习 §4.1.1 留数定理 二、留数定理 (柯西留数定理) 4.1.2、计算留数的方法 §4.1.3 无穷远点的留数与留数和定理 【例8】求f(z)= 在孤立奇点(包括无穷远点）处的留数． 解 z=b1是二阶极点，z=b2是一阶极点，得 由留数和定理，易得 §4.2 用留数定理计算实变积分 本节将利用留数定理 引理1 若z在上半平面及实轴上趋于∞时, zf(z)一致地趋于零(与辐角无关，即 则 f(z) 沿图2.3中无穷大 半圆周CR的积分 若z在上半平面及实轴上趋于∞时，f(z)一致地趋于零(与辐角无关)，即 式中m0，CR是以原点为圆心、R为半径的上半圆周，参看图2.3. 第四、五型积分的计算，要利用引理3，它指出f(z)沿图4.3的无穷小半圆周的积分结果。 引理 3 若b是f(z)在实轴上的一阶极点，则 §4.2.1 型积分 1. 积分的特征：被积函数是cosq, sinq的有理实函数；积分区间为[0,2p],如果不是，应先变为[0,2p] 2. 计算方法，首先作变换z = eiθ, 把被积函数变成复变函数 其次，把沿[0,2p]的积分变成沿单位圆的回路积分．利用留数定理可得  即积分等于2pi乘函数 在|z|=1圆内所有奇点处留数之和. 【例4.2.1】计算积分 式中a0 解 首先作变换q=2x, 将积分区间化为[0,p]，再利用被积函数是偶函数，将积分区间化为[-p,p] 其次，令z=eiq，即可将对q的积分变为沿|z|=1 的回路积分 第三，被积函数有两个一阶极点 z1,2 = 易见z1在|z|=1的回路内部,| z2 |在回路外． 根据留数定理 §4.2.2 f(x)dx 型积分 1. 积分特征 f(z)在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个①孤立奇点bk ( k =1，2，…，n)外解析； 当z在上半平面及实轴上趋于∞时，zf(z)一致地趋于零(与辐角无关) 其次，选择辅助函数f(z)。 通常将f(x)的x改为z(有时也要改变函数形式，见例4.2.7.例4.2.8 ) 第三，选择积分与回路．当积分具有上述特征时，受引理1的启发，增加无穷大的半圆周CR，构成闭合回路L(图4.4). 【例4.2.2】计算积分 解 (1)辅助函数． 由于被积函数为偶函数，故 增加无穷大半圆周CR 构成闭合(图4.5) (3)按留数定理计算 (2) 积分回路．因为 (3)按留数定理计算 §4.2.3 1. 积分特征 f(z)在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个孤立奇点bk(k=1,2,?）外解析； 当z在上半平面及实轴上趋于 ∞时，f(z)一致地趋于零(与辐角无关） 2.计算方法 与第二类型不同的是，第三类型积分的被积函数满足引理2(若当引理)的条件． 类似地，增加无穷大的半圆周CR (图4.4)，构成闭合回路L。根据留数定理，积分主值的定义，以及引理2的结论 则有 为书写简单起见，式中已采用简单记号 由此可得式(4.2.10)~式(4.2.13)四个公式： (1) 式(4.2.9）的实部为 【例4.2.4】计算积分 解 (1) 辅助函数 在上半平面只有一个一阶极点b=i (2) 积分回路 (3) 按留数定理计算． §4.2.4 f(x)在实轴上有一阶极点的积分 1.积分特征 除f(x)在实轴上有一阶极点外，与第二型积分特征相同。 根据留数定理, 积分主值的定义, 引理1的结论 【例4.2.5】计算积分I = 解 (1)辅助函数 f(z) = 它在上半平面内有一阶极点b1= i 外，还在实轴上有两个一阶极点b2=1,b3=-1.图4.7 (2) 积分回路如图4.7所示 (3)按留数定理计算． §4.2.5 (m0), f(x)在实轴上有一阶极点的积分 1.积分特征 除f(x)在实轴上有一阶极点外，与第三型积分特征相同。 【例4.2.6】计算积分I = 解 (1)辅助函数 F(z) = f(z)eiz = 在实轴上有一阶极点z=0. (2)积分回路如图4.8所示． (3)按留数定理计算 §4.2.6 物理学中