数学物理方法第2章复变函数积分-2016详解.ppt

* 解 因为函数 在复平面解析, 在 内, n=1, 根据 * 典型例题 解 由 , * 例2.13 设C表示正向圆周 求 于是 而1+i 在C内, 所以 解 根据 , 当z在C内时, * 解 (1) 根据 , * (2) 根据 , * (3) 根据 以及前面的结果, * 例2.15 计算下列积分, 其中C是正向圆周 解 (1) 因为函数 在C内z=1处不解析, 但 在C内处处解析, 所以根据 * (2) 函数 在C内的 处不解析. 在C内分别以i 和 -i 为中心作正向圆周 C1 和 C2, 则函数 在由 围成的区域内解析, 所以由 * 于是 * (1) n ?0时, 函数 在 上解析. (2) n=1时, 由 得 由 得 * 可得 (3) n1时, 根据 * 【例2.3.4】已知y(t,q)=exp(2tq-t2 ),求证 证明 (1) 高阶导数公式为 现在y(t,q)依赖于t与q，故对t的导数应改写为偏导数 * (2) 作变换：x = q- z 注意到 exp(2xq-x2) = exp[2(q-z)q-(q-z)2]  = exp(q2-z2)，上式变为 最后一个等式再次利用了高阶导数公式． * 在第6章将会指出， 是厄米(Hermite)多项式Hn(q)的生成函数 这是指把y(t,q)对t展成泰勒级数 其展开系数 Hn(q)就是厄米多项式． * §2.3.3 最大模定理 设f(z)在 上解析，则|f(z)|在的边界L上取最大值 证明 关于[f(z)]n的柯西公式为 设f(x) 在L上的最大值为M，|x-z|的最小值为d，边界L的长度为l(图2.17)，代入式(2.3.19)，则有 * * 两边开n次方，得 因为上式对任意n均成立，令n→∞,考虑到 式(2.3.2.1)即为 |f(z)|≤ M (2.3.22) 这表明，对于D内的任意z点，其|f(z)|不大于L上|f(x)|的最大值M，即|f(z)|在 的边界上取最大值． * §2.3.4 柯西型积分 设 f(x) 在一条光滑曲线 l 上连续，z 为曲线 l 外的一点，形如 的积分称为柯西型积分，可以证明F(z)是解析函数． 证明 如果 l 是闭曲线，并且 f(x) 在 l 及其内部解析，柯西公式表明 F(z) 就是 f(z)． * 现在只知道f(x)在l上连续，l 可闭合也可不闭合．为了证明F(z)解析，可以通过交换取偏导与求积分的次序也得到 这表明，对于曲线外的任一点z，F(z)的导数均存在．既然F(z)在z的邻域内点点可导，故F(z)在曲线 l 外任一点是解析函数．这样，今后只要把积分化为柯西型积分，它就是解析的． * 复变函数的积分 积分存在的 条件及计算 积分的性质 Cauchy积分定理 原函数 的概念 复合闭路定理 Cauchy 积分公式 高阶导数公式 Newton-Leibniz公式 本章内容总结 * 1. Cauchy积分定理 2. 复合闭路定理 3. Cauchy积分公式与高阶导数公式 本章的重点 4. 复变函数积分的计算 * (2.2.8) * §2.2.3 复通区域的柯西定理 定理 若f(z)在闭复通区域 解析，则f(z)沿所有内、外边界线(L=L0+ )正方向积分之和为零 (2.2.18) “正方向”：当沿内、外边界线环行时，D保持在左边．换句话说，外边界线取逆时针方向，内边界线取顺时针方向． * 证明 为了应用单通区域的柯西定理，作割线把外边界线L0与内边界线连接起来，将闭复通区域变成闭单通区域。 * 推论3 在f(z)的解析区域中，积分回路连续变形时，其积分值不变． 证明 取变形前后的积分回路 作为复通