速度势函数和流函数.ppt

《地球物理流体力学》2012.02-05 《地球物理流体力学》2012.02-05 《地球物理流体力学》2012.02-05 * * 无旋运动与势函数 * 1 、势函数存在的条件 无旋运动： 按照矢量运算，任何一个函数的梯度再取旋度必恒等于零， 负号表示流动和梯度方向相反。（梯度方向：低值向高值） 梯度： 标量场的【梯度】( )是一个矢量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。 上面两个图中，标量场是黑白的，黑色表示大的数值，而其相应的梯度用蓝色箭头表示。 * 势函数 无旋运动时，其速度矢 是可以由函数 的梯度来表示的，这个函数 就称为速度矢 的【（位）势函数】。 可见，用一个标量函数就把三维的速度矢都表示出来了，减少了未知量。 * 等(位)势面： 取t 为一固定时刻，若有 此时 的几何图像是一个空间曲面，称为等势函数面——【等位势面】。当取大小不同的常数值时，上式就是等势面族。 可知：（1 ）速度矢与等势面垂直。 （2 ）流动（或说速度矢）是从高位势流向低位势。（3）等位势面彼此紧密的地方，速度值大；等位势面彼此疏松的地方，速度值小。 * 散度： 势函数与速度分量： 称为 三维拉普拉斯算符，则： 是一个二阶偏微分方程—— 泊松方程（Poisson），由此可得到【势函数】与【速度矢】之间的互求关系。 势函数与散度： * 流函数与平面运动： 【平面运动】需要满足下列两个条件： 在所有平行于某个A 面的平面上，流体质点的运动都是在该平面上进行的。 在A 面的垂线上，各物理量都相等。 若取A 面为XOY平面，z 轴垂直向上，以上两个条件就是： 平面运动比一般的空间运动简单，具体说来速度只有二个方向的分量u,v，所有物理量只是x,y的函数。 * 在大气中，常用 XOY 平面运动作为大气运动的一种近似模型，前提条件是： 研究的问题中XY方向的尺度 Z 方向的尺度，Z 方向的速度分量及物理量沿Z方向的变化比起其它方向小的多，可以近似认为Z 方向的速度分量为零，其它物理量沿Z方向的变化也为零。 * 流函数： 我们对流函数的讨论是建立在二维运动 XOY，且运动无辐散。即： 由无辐散条件 ，可以找到一个函数与速度矢对应，我们把这个函数写成ψ ，ψ 的全微分为： * 流函数： （1.77）中 为二维矢量微商符 上面的ψ就是流函数， （1.77 ）就是流函数与速度矢的关系。 * 流函数与流线的关系 根据流线方程的求法，（* ）的流线方程为： （1.75 ）可积的充要条件是无辐散，与（1.76 ）对比，发现是一样的。对（1.76 ）积分，得： 上式时间取定，常数也取定时，就代表了某时刻的某一条流线，或等流函数线，此曲线上的切线处处跟流速矢方向一致。 * 注意： 流函数引入的条件是流体运动为二维，而流体是不可压缩的，不论流体是有旋还是无旋，流函数都存在。 如将流函数应用到一般的三维流体运动则会引起相当大的解析困难。） 引入流函数的优点： 可以减少表征流体运动的变量。2 个变1 个。 流函数还可以用来表示流体体积通量。 * 流函数与体积通量： 图中自南向北的4 条线是流线（等流函数线），任取AB曲线，在该线上任一点的速度矢是 ，法向单位矢是 ，曲线单位矢是 上式表明，两点的流函数值之差等于过这两点的任何曲线的流体的体积通量（体积流量）值，跟曲线的形状、长短无关。 * 流函数与涡度的关系 即流函数的二维拉普拉斯运算等于流体涡度的垂直分量 * 一般的二维流动 （1 ）速度矢的分解 一般的二维流体运动，不一定无旋或无辐散，而是既有旋又有辐散，此时我们可以把一般的二维流体运动的速度矢分成两部分，一部分是有旋无辐散 ，另一部分是无旋有辐散 ，即有： * 速度矢的分解 称为无辐散涡旋流(流函数对应)