4第三章中学数学方法.ppt

2、数学联想的分类 （1）意义联想 所谓意义联想，指的是由问题中的条件、结论所反映出的概念引起它们具体意义的联想。 例9：判断集合 与集合 的关系。 分析：由不等式的几何意义，对不等式确定的 值的集合，自然会联想到坐标轴上的区间，从而想到问题可以转化为判断两个开区间 与 的关系； 由这种“关系”的概念进而又联想到是否有包含或相交、相离的关系； 再由这种关系的具体含义又联想到需比较区间端点的数值大小； 由比较大小进一步引起求差的联想。 就此，解题思路基本理清。 （2）目标联想 所谓目标联想，是人们在研究问题时，目标成为一种思维导向，激励思维产生追求。 例10：已知关于 的实系数二次方程 有两个实数根 ，如果 ， 试证： 且 分析：由“有实数根 ”联想到他们的意义、条件和两根的关系： ① ② ③ ④ 由 及④式相等条件，在求证 的目标意识激励下，容易得到： 为证得 的结论，于是运用条件 联想到②，应给 以具体内容，于是联想到不妨设 进一步，在目标意识的引导下逐步引出以下一系列的变形： → → → → → （3）形似联想 所谓形似联想是指在数学问题的研究过程中，数、式、图的某种形象、生动的形态被人所感知，从而导致类似问题解决方案的联想。 例11：已知： ，且 试证：过 两点的直线恒为某定圆的切线。 分析：由已知条件的和与积的形状联想起韦达定理（形似联想）： 是方程 由 两点坐标中“式”的形状联想起（形似联想）抛物线方程: 的两根， ② 两点在这条抛物线上，对于 来说，①、②两式构成方程组的形态与“需推导出直线方程”的潜意识共同作用，联想起将方程组变形（形似联想与意义联想、目标联想的综合效应），于是得到 ③ ③式出现使直线方程的潜意识变成显意识，并引起③式是否表示 ① 过 两点的直线的联想（形似联想与意义联想）。进一步，在目标意识的导引下，只要证明直线③恒为某定点圆的切线即可。即找一个定圆，使直线③是它的切线，这个目标意识导致去思考最简单的常用圆： 过这个圆上的点 的切线方程为 这样，一个鲜明的意识跃入脑海（目标联想、形似联想与意义联想）取 ，③式容易化成 ④ 而点 在定圆 上，因此④式就是该定圆的切线。 （4）意愿联想 所谓意愿联想是指有推理的意愿引发的联想。 （5）程式联想 所谓程式联想是指对于能归类的问题,由问题本身的归属而触发与问题解决有关的若干联想。 例12：解不等式 分析：由不等式两端式子的形式，联想到利用函数式与函数图像，进而联想到利用数形结合的数学思想方法，将“数”的问题转化成“形”的问题。于是设 原不等式化成 在这个联想过程中，就其总体来说，属于程式联想，就其内容来说却与意义联想、目标联想、形似联想难舍难分。在这些联想下，思维内容逐步具体化，由图便可解得 四、直觉法 1、直觉的意义 数学直觉思维是人脑对数学对象（结构及其关系）的某种直接的领悟和洞察。 2、数学直觉思维的分类 （1）按照数学直觉思维发生的时间不同，可以分为直接领悟式数学直觉思维和灵感顿悟式数学直觉思维; （2）按照数学直觉思维产生的基础不同，可以分为经验性数学直觉思维和理性数学直觉思维; （3）按照数学直觉思维的智力品质，可以分为再现式数学直觉思维和创造性数学直觉思维。 §3.4 论证方法 一、中学数学中常用的论证方法： 1、分析法或综合法； 2、直接证法或间接证法； 3、计算证法。 二、计算证法举例 1、代数法 研究某些度量关系的几何问题时，可将有关线段、角度、面积用未知数表示，根据已知条件建立相应的关系式，然后用代数上的恒等变换或解方程给