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椭圆2014年各省高考题汇编详解
椭圆2014年各省高考题汇编
1.(2010·福建高考文科·T11)若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为( )
A.2 B.3 C.6 D.8
【命题立意】本题考查椭圆的基本概念、平面向量的内积、利用二次函数求最值.
【思路点拨】先求出椭圆的左焦点,设P为动点,依题意写出的表达式,进而转化为求解条件最值的问题,利用二次函数的方法求解.
【规范解答】选C,设,则,又因为
,又, ,所以 .
2.(2010·广东高考文科·T7)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
【命题立意】本题考察椭圆的基本性质以及等差数列的定义.
【思路点拨】由椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,列出、、的关系,再转化为、间的关系,从而求出.
【规范解答】选. 椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,
,
,即: ,又 ,
,即 ,,
(舍去)或 , ,故选.
3.(2010·陕西高考理科·T20)如图,椭圆C:
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设n是过原点的直线,l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线,是否存在上述直线l使成立?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由。
【命题立意】本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系,是一道综合性的试题,考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题(2)是一个开放性问题,考查了观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力。
【思路点拨】已知的方程组椭圆C的方程假设存在直线l使命题成立结论
【规范解答】(Ⅰ)由知a2+b2=7, ①
由 ②
又, ③
由 ①②③解得
故椭圆C的方程为
(Ⅱ)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2)
假设存在直线l使成立,
(ⅰ)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=kx+m,
由l与n垂直相交于P点且得[来源:学
因为
由求根公式得: ④
⑤
将④⑤代入上式并化简得
(ⅱ)当l与x轴垂直时,满足的直线l的方程为,
4.(2010·海南高考理科·T20)设分别是椭圆E:(ab0)的左、右焦点,过斜率为1的直线与E 相交于两点,且,,成等差数列.
(Ⅰ)求E的离心率;
(Ⅱ)设点P(0,-1)满足,求E的方程.
【命题立意】本题综合考查了椭圆的定义、等差数列的概念以及直线与椭圆的关系等等.解决本题时,一定要灵活运用韦达定理以及弦长公式等知识.
【思路点拨】利用等差数列的定义,得出,,满足的一个关系,然后再利用椭圆的定义进行计算.
【规范解答】(Ⅰ)由椭圆的定义知,,又
得 ,的方程为,其中
设,则两点坐标满足方程组
化简得,
则 ,.
因为直线AB斜率为1,所以
得 ,故,所以E的离心率.
(Ⅱ)设两点的中点为,由(Ⅰ)知,.
由,可知.即,得,从而.
椭圆E的方程为.
【方法技巧】熟练利用圆锥曲线的定义及常用的性质,从题目中提取有价值的信息,然后列出方程组进行相关的计算.
5. (2010·陕西高考文科·T20)如图,椭圆C:
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设n是过原点的直线,l是与n垂直相交于P点、
与椭圆相交于A,B两点的直线,是否存在上述直线l使成立?
若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由。
【命题立意】本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系,是一道综合性的试题,考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题(2)是一个开放性问题,考查了观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力。
【思路点拨】已知的方程组椭圆C的方程假设存在直线l使命题成立结论
【规范解答】(Ⅰ)同理科
(Ⅱ)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2)
假设存在直线l使成立,
(ⅰ)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=kx+m,
由l与n垂直相交于P点且得[来源:学
由得
由求根公式得: ④
⑤
将④⑤代入上式并化简得
(ⅱ)当l与x轴垂直时,满足的直线l的方程为,
6.(2010·江苏高考·T18)在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆的左、右顶点为A、B,右焦点为F。设过点T()的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M、,其中m0,。
(1)设动点P满足,求点P的轨迹;
(2)设,求点T的坐标;
(3)设,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)。
【命题立意】本题主要考查求曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程及其相关的基础知识。考查运算求解能力和探究问
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