椭圆典型题型归纳(学生版).doc

椭圆典型题型归纳 题型一. 定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆相内切，且过点，求这个动圆圆心的轨迹方程； 例2. 方程所表示的曲线是 练习： 1.方程对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2.方程对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 3.方程成立的充要条件是（ ） A. B. C. D. 4.如果方程表示椭圆，则的取值范围是 5.过椭圆的一个焦点的直线与椭圆相交于两点，则两点与椭圆的另一个焦点构成的的周长等于 ； 6.设圆的圆心为，是圆内一定点，为圆周上任意一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则点的轨迹方程为 ； 题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线 例1.方程的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程 例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程 例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点、，求椭圆的方程； 例4.求经过点且与椭圆有共同焦点的椭圆方程； 注：一般地，与椭圆共焦点的椭圆可设其方程为； （四）定义法求轨迹方程； 例5.在中，所对的三边分别为，且，求满足且成等差数列时顶点的轨迹； （五）相关点法求轨迹方程； 例6.已知轴上一定点，为椭圆上任一点，求的中点的轨迹方程； （六）直接法求轨迹方程； 例7.设动直线垂直于轴，且与椭圆交于两点，点是直线上满足的点，求点的轨迹方程； （七）列方程组求方程 例8.中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求此椭圆的方程； 题型三.焦点三角形问题 例1.已知椭圆上一点的纵坐标为，椭圆的上下两个焦点分别为、，求、及； 题型四.椭圆的几何性质 例1.已知是椭圆上的点，的纵坐标为，、分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为，则的最大值与最小值之差为 例2.椭圆的四个顶点为，若四边形的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为 ； 例3.若椭圆的离心率为，则 ； 例4.若为椭圆上一点，、为其两个焦点，且，，则椭圆的离心率为 题型五.求范围 例1.方程表示准线平行于轴的椭圆，求实数的取值范围； 题型六.椭圆的第二定义的应用 例1. 方程所表示的曲线是 例2.求经过点，以轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程； 例3.椭圆上有一点，它到左准线的距离等于，那么到右焦点的距离为 例4．已知椭圆，能否在此椭圆位于轴左侧的部分上找到一点，使它到左准线的距离为它到两焦点距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。 例5．已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点．求的最小值及对应的点的坐标． 题型七.求离心率 例1. 椭圆的左焦点为，，是两个顶点，如果到直线的距离为，则椭圆的离心率 例2.若为椭圆上一点，、为其两个焦点，且，，则椭圆的离心率为 例3. 、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，，且，则椭圆的离心率为 ； 题型八.椭圆参数方程的应用 椭圆上的点到直线的距离最大时，点的坐标 例2.方程()表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围； 题型九.直线与椭圆的关系 （1）直线与椭圆的位置关系 例1. 当为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离？ 例2.曲线（）与连结，的线段没有公共点，求的取值范围。 例3.过点作直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。 分析：若直接用点斜式设的方程为，则要求的斜率一定要存在，但在这里的斜率有可能不存在，因此要讨论斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线的方程为，这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简化了运算。 解：设，： 把代入椭圆方程得：，即 ，， ∴，此时 令直线的倾角为，则 即面积的最大值为，此时直线倾斜角的正切值为。 例4.求直线和椭圆有公共点时，的取值范围。 （二）弦长问题 例1.已知椭圆，是轴正方向上的一定点，若过点，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，求点的坐标。 分析：若直线与圆锥曲线相交于两点、， 则弦的长度的计算公式为， 而，因此只要把直线的方程代入圆