椭圆中的最值问题.ppt

与椭圆有关的最值问题 ——常见解决方法 o x y F2 函数思想 例1 【练习】以坐标轴为对称轴，坐标原点为中心的椭圆上一点P和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，求此椭圆长轴的长的最小值． 【方法小结1】 求一点与椭圆上一点的距离最值问题： 常用两点距离公式表示，消去x或y，转化成 二次函数求最值问题。注意自变量取值范围。 例2 例3、椭圆上一点到直线的最值问题： 【方法小结2】 常转化为与已知直线平行的直线m与椭圆相切问题，利用判别式求出直线m，再利用平行线间距离公式求出最值。 x y o Mmin F1 F2 F2’ 简析: 长轴长为 MF1 + MF2 即在已知直线上找一点使其到两定点距离和最小， 应用对称知识便可求得。 例4：如图,M是直线 :x-y+9=0上的动点,过M且以椭圆 的焦点为焦点作椭圆,问M在何处时,所作椭圆的长轴最短?并求出此时的椭圆方程。 M 例5、已知：B (2,2)是椭圆 内一点，F1 , F2是两焦点，M是椭圆上的一个动点，求 的最大值和最小值 x y o B F2 M F1 分析： 同理 ∴最大值=10+2 ∴最小值=10-2 Mmax Mmin P F2 M F1 Mmin x y o Mmax 方法总结3： 1、椭圆上点到焦点与一定点距离之和（差）的最值问题往往可用定义转化到另一焦点距离之差（和）进而求解。 2、本题利用了三角形三边关系，求最值的方法。 如图，已知点P在圆A :x2+(y-2)2= 上运动，点Q在椭圆 上运动，试求 的最大值。 x y o A P Q 点p在圆A上运动时 总有 ∴只需求 的最大值 例6 规律方法： 1、P，Q均为动点，可先借助图形，利用圆的性质：平面上点到圆上最大最小值过圆心。把其中一点看作定点，使其一定一动，把问题转移到熟悉的情境中来。 2、利用三角形中两边之和大于第三边，逐个击破难点。 x o A P Q x y 课堂小结： 解析几何中的最值与取值范围问题涉及的知识面较广，但主要运用数形结合、函数两大数学思想，具体方法有以下几种： 1、利用数形结合、几何意义，尤其是以圆与椭圆的性质求最值与取值范围。 2、利用函数，尤其是二次函数求最值与取值范围。 3、利用不等式，尤其是均值不等式求最值与取值范围。 4、利用判别式求最值与取值范围。