椭圆切线尺规作图(徐文平定稿).ppt

椭圆切线尺规作图 2016年6月 东 南 大 学 徐 文 平 圆锥曲线内接四边形的四极点调和分割定理 椭圆内接四边形KLMN，对边线KN与LM交于A，对边线KL与NM交于B，对角线KM的极点为C，对角线LN的极点为D，KM与LN交于Q点，则A、B、C、D四点共线，且AB调和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。 双曲线和抛物线也具有同样性质。 大狗熊定理：圆锥曲线内接四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点。 （徐文平论文：圆锥曲线内接四边形的四极点调和分割定理） 证明：由于割线JK的极点在无穷远，利用大狗熊定理，可以快速证明这个命题。 过椭圆上一点作切线 命题1：已知椭圆的斜向割线AB，作一条过椭圆圆心O点的任意割线JK， JA、BK交于E点，JB、AK交于F点，确定EF的中点 N点，连线NA、NB就是椭圆的切线。 证明：利用侯明辉三割线定理和调和分割尺规作图，可以快速证明这个命题。 过椭圆上一点作切线 方法：取AB的中点M，连接MO，延伸与椭圆交于CD两点，作CD为直径的圆，作MP垂直与CD，过P点作切线，CD与切线PN交于N点，则N点为AB的极线。 （如果JK为过原点O的双曲线割线，仍然成立。） 过双曲线上一点作切线 命题2：已知双曲线的斜向割线AB，点J、K是双曲线的顶点，JA、BK交于E点，JB、AK交于F点，确定EF的中点 N点，连线NA、NB就是双曲线的切线。 （JAB三点和无穷远点可以构成抛物线的内接四边形） 过抛物线一点作切线 命题3：已知抛物线的斜向割线AB，点J是抛物线上任意一点，JA与过B点竖向线交于F点，JB与过A点竖向线交于E点，确定EF的中点 N点，连线NA、NB就是抛物线的切线。 （证明：依据极点极线的对偶定理，可知方法成立） 思考：椭圆切线的通用方法 已知：椭圆的斜向割线PQ。作任意一条割线AB，如PQ和AB交于S点。 对于椭圆内接四边形APBQ，延伸对边线可得到M、N交点， 从而获得S点的极线MN。 同样方法，作任意一条割线GH，则PQ和GH交于T点，可获得T点的极线EF。 极线MN和极线EF交于C点，连线PC、QC就是椭圆的切线，C为PQ线的极点。 （问题：椭圆圆心O点不知道啊） （极点与极线知识可知，ΔPQR为自配极三角形） 过椭圆外一点作切线 命题4：已知椭圆外一点P，过P点作PAB与PCD二条任意椭圆割线，AD、CB交于Q点，AC、BD延长交于R，连线QR与椭圆交于S、T两点，PS、PT就是椭圆的切线。 过椭圆外一点作切线 方法：连接ON线，交椭圆于CD，作CD为直径的圆，过N点作圆切线，切点为P点，作PM垂直CD，过C点作椭圆切线， M点作切线的平行线交椭圆于AB，则AB为极线。 证明：利用侯明辉三割线定理和调和分割尺规作图，利用椭圆共轭直径的性质 可以快速证明这个命题。 （极点与极线知识可知，ΔPQR为自配极三角形） 过双曲线外一点作切线 命题5：双曲线外一点P，过P点作PAB与PCD二条任意双曲线割线，AD、CB交于Q点，AC、BD延长交于R，连线QR与双曲线交于S、T两点，PS、PT就是双曲线的切线。 （试问：过A点作水平线与BC交于H点，H点也在P的极线上吗？是的在的。） 过抛物线外一点作切线 命题6：已知 抛物线外一点 ，过P点作一条任意抛物线割线交于A、B两点，过P点作水平线与抛物线交于C，连接AC连线，过B点作水平线与AC交于Q点。在x轴上确定一点 ，连线QR就是P点的极线，QR与抛物线交于S、T两点，PS、PT就是抛物线的切线。 （为什么？点 一定在P点的极线上）