椭圆的简单几何性质练习题.doc

课时作业(八) 一、选择题 1．(2015·人大附中月考)焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为的椭圆的标准方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 【解析】　本题考查椭圆的标准方程．由题意知2b＝8，得 b＝4，所以b2＝a2－c2＝16，又e＝＝，解得c＝3，a＝5，又焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为＋＝1，故选C. 【答案】　C 2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为(　　) A. B. C. D. 【解析】　由题意知a＝2c，e＝＝＝. 【答案】　A 3曲线＋＝1与＋＝1(0k9)的关系是(　　) A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有相等的焦距，不同的焦点 C．有不等的焦距，不同的焦点 D．以上都不对 【解析】　曲线＋＝1的焦距为2c＝8，而曲线＋＝1(0＜k＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，故选B. 【答案】　B 4．已知O是坐标原点，F是椭圆＋＝1的一个焦点，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于M，N两点，则cosMON的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 【解析】　由题意，a2＝4，b2＝3， 故c＝＝＝1. 不妨设M(1，y0)，N(1，－y0)，所以＋＝1， 解得y0＝±， 所以|MN|＝3，|OM|＝|ON|＝＝. 由余弦定理知cosMON＝＝＝－. 【答案】　B 二、填空题 5．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C、D的椭圆的离心率为________． 【解析】　如图，AB＝2c＝4，点C在椭圆上，CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，e＝＝＝. 【答案】　 6．设AB是椭圆＋＝1的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则kAB·kOM＝________. 【解析】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则中点M，得kAB＝， kOM＝，kAB·kOM＝， b2x＋a2y＝a2b2，b2x＋a2y＝a2b2， 得b2(x－x)＋a2(y－y)＝0，即＝－. 【答案】　－ 7．(2014·天津高二检测)已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是________． 【解析】　因为P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2. 【答案】　[1,2] 三、解答题 8．(1)求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程． 【解】　　(1)c＝＝， 所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0)． 设所求椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)． e＝＝，c＝，a＝5，b2＝a2－c2＝20， 所求椭圆的方程为＋＝1. (2)因椭圆的焦点在x轴上， 设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)， 2c＝8，c＝4， 又a＝6，b2＝a2－c2＝20. 椭圆的方程为＋＝1. 9．(2014·菏泽高二检测)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)与x轴交于点A，以OA为边作等腰三角形OAP，其顶点P在椭圆上，且OPA＝120°，求椭圆的离心率． 【解】　　不妨设A(a,0)，点P在第一象限，由题意，点P的横坐标是，设P，由点P在椭圆上，得＋＝1，y2＝b2，即P，又OPA＝120°，所以POA＝30°，故tanPOA＝＝，所以a＝3b，所以e＝＝＝＝. 1．(2015·福州高二期末)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是(　　) A. B.－1 C．2－ D. 【解析】　设椭圆方程为＋＝1(ab0)， 由题得|PF2|＝＝2c， 即＝2c， 得离心率e＝－1，故选B. 【答案】　B 2．(2014·清远高二期末)“m＝3”是“椭圆＋＝1的离心率为”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】　椭圆＋＝1离心率为， 当0m4时，＝，得m＝3， 当m4时，＝，得m＝， 即“m＝3”是“椭圆＋＝1的离心率为”的充分不必要条件． 【答案】　A 3．(2015·济南历城高二期末)已知椭圆＋＝1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是________． 【解析】　由＝2，得|AO|＝2|FO|(O为坐标原点)，即a＝2c， 则离心率e＝. 【答案】　 4．(2014·青海省西宁)已知点A，B分别是椭圆＋＝1的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF