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椭圆经典练习题两套(带答案)详解
椭圆练习题1
A组 基础过关
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2012·厦门模拟)已知椭圆的长轴长是短轴长的倍,则椭圆的离心率等于( ).
A. B. C. D.
解析 由题意得2a=2ba=b,又a2=b2+c2b=ca=ce=.
答案 B
2.(2012·长沙调研)中心在原点,焦点在x轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是( ).
A.+=1 B.+=1C.+=1 D.+=1
解析 依题意知:2a=18,a=9,2c=×2a,c=3,
b2=a2-c2=81-9=72,椭圆方程为+=1.
答案 A
3.(2012·长春模拟)椭圆x2+4y2=1的离心率为( ).
A. B. C. D.
解析 先将x2+4y2=1化为标准方程+=1,则a=1,b=,c==.离心率e==.
答案 A
4.(2012·佛山月考)设F1、F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,P是第一象限内该椭圆上的一点,且PF1PF2,则点P的横坐标为( ).
A.1 B. C.2 D.
解析 由题意知,点P即为圆x2+y2=3与椭圆+y2=1在第一象限的交点,解方程组得点P的横坐标为.
答案 D
5.(2011·惠州模拟)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为( ).
A.+=1 B.+=1C.+=1 D.+=1
解析 依题意设椭圆G的方程为+=1(a>b>0),
椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12,2a=12,a=6,
椭圆的离心率为.=,
=.解得b2=9,
椭圆G的方程为:+=1.
答案 C
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.若椭圆+=1上一点P到焦点F1的距离为6,则点P到另一个焦点F2的距离是________.
解析 由椭圆的定义可知,|PF1|+|PF2|=2a,所以点P到其另一个焦点F2的距离为|PF2|=2a-|PF1|=10-6=4.
答案 4
7.(2011·皖南八校联考)已知F1、F2是椭圆C的左、右焦点,点P在椭圆上,且满足|PF1|=2|PF2|,PF1F2=30°,则椭圆的离心率为________.
解析 在三角形PF1F2中,由正弦定理得
sinPF2F1=1,即PF2F1=,
设|PF2|=1,则|PF1|=2,|F2F1|=,
离心率e==.
答案
8.(2011·江西)若椭圆+=1的焦点在x轴上,过点作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是________.
解析 由题可设斜率存在的切线的方程为y-=k(x-1)(k为切线的斜率),
即2kx-2y-2k+1=0,
由=1,解得k=-,
所以圆x2+y2=1的一条切线方程为3x+4y-5=0,
求得切点A,
易知另一切点B(1,0),则直线AB的方程为y=-2x+2.
令y=0得右焦点为(1,0),
令x=0得上顶点为(0,2).a2=b2+c2=5,
故得所求椭圆方程为+=1.
答案 +=1
三、解答题(共23分)
9.(11分)已知点P(3,4)是椭圆+=1(a>b>0)上的一点,F1,F2是椭圆的两焦点,若PF1PF2.
试求:(1)椭圆的方程;(2)PF1F2的面积.
解 (1)P点在椭圆上,+=1.
又PF1PF2,·=-1,得:c2=25,
又a2=b2+c2,
由得a2=45,b2=20.
椭圆方程为+=1.
(2)SPF1F2=|F1F2|×4=5×4=20.
10.(12分)(2011·陕西)如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|.(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度.
解 (1)设M的坐标为(x,y),P的坐标为(xP,yP),
由已知得
P在圆上,x2+2=25,即C的方程为+=1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y=(x-3),
设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
将直线方程y=(x-3)代入C的方程,得
+=1,即x2-3x-8=0.
x1=,x2=.
线段AB的长度为|AB|=== =.
B级
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2012·丽水模拟)若P是以F1,F2为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上的一点,且·=0,tanPF1F2=,则此椭圆的离心率为( ).
A.
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