椭圆综合练习题(二)解析.doc

椭圆综合练习题（二） 1.已知椭圆的焦点、，由4个点，和构成了一个高为，面积为的等腰梯形. （1）求椭圆的方程; （2）过点的直线和椭圆交于两点，求面积的最大值. 过点，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）设过定点的直线与椭圆相交于、两点，且为锐角（其中为坐标原点),求直线斜率的取值范围. 3.(2012年陕西卷,理19)已知椭圆C1: +y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率. (1)求椭圆C2的方程; (2)设O为坐标原点,点A、B分别在椭圆C1和C2上,=2,求直线AB的方程. 解:(1)由题意可知椭圆C1的长轴长为4,离心率e1=, 设C2方程为 (ab0), 由题意得椭圆C2短轴长2b=4,离心率e2=, ∴b=2,a2=16. ∴椭圆C2的方程为. (2)∵=2, ∴A、O、B三点共线. 设AB方程为y=kx. 由 得(1+4k2)x2=4. 设A(x1,y1), 则=. 设B(x2,y2),同理可求得=. 由=2得: =4, 即=4·, 解得k=±1. ∴直线AB的方程为y=x或y=-x. 4.已知椭圆+=1(ab0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. (1)求椭圆的方程; (2)设A, B分别为椭圆的左、右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若·+·=8,求k的值. 解:(1)设F(-c,0),由 =,知a=c.过点F且与x轴垂直的直线的方程为x=-c,代入椭圆方程有+=1,解得y=±,于是=,解得b=,又a2-c2=b2,从而a=,c=1,所以椭圆的方程为+=1. (2)设点C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1),由方程组消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0. 由根与系数的关系可得x1+x2=-,x1x2=.因为A(-,0),B(,0),所以·+·=(x1+,y1)·(-x2,-y2)+(x2+,y2)·(-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+. 由已知得6+=8,解得k=±. 5.(2013广东珠海高三上学期期末)已知椭圆C:+=1(ab0),左、右两个焦点分别为F1,F2,上顶点A(0,b),△AF1F2为正三角形且周长为6. (1)求椭圆C的标准方程及离心率; (2)O为坐标原点,P是直线F1A上的一个动点,求|PF2|+|PO|的最小值,并求出此时点P的坐标. 解:(1)由题设得解得a=2,b=,c=1. 故C的方程为+=1,离心率e=. (2)直线F1A的方程为y=(x+1), 设点O关于直线F1A对称的点为M(x0,y0), 则? 所以点M的坐标为(-,). ∵|PO|=|PM|,|PF2|+|PO|=|PF2|+|PM|≥|MF2|, |PF2|+|PO|的最小值为 |MF2|==. 直线MF2的方程为y=(x-1), 即y=-(x-1). 由? 所以此时点P的坐标为(,). 6.设椭圆（）的左焦点为，，上顶点为.已知. （）求椭圆的； （）设为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切. 求直线的斜率. 【解析】（）的坐标为.由， 可得，又，则. 所以，椭圆的离心率. ，所以，解得，. （）（），.故椭圆方程为. 设.由，，有，. 由已知，有，即.又， 故有. ① 又因为点在椭圆上，所以. ② 由①和②可得. 而点不是椭圆的顶点，故， 代入①得，即点的坐标为. 设圆的圆心为，则，， 进而圆的半径. 设直线的斜率为，依题意，直线的方程为. 由与圆相切，可得，即， 整理得，解得. 所以，直线的斜率为或. 7.(2014·广东高考文科·T20)(14分)已知椭圆C:+=1(ab0)的一个焦点为(,0),离心率为. (1)求椭圆C的标准方程. (2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程. 【解题提示】(1)由c,e,求出b得椭圆方程,(2)要分切线斜率是否存在加以讨论. 【解析】(1)因为c=,离心率e=, 所以a=3,b=2, 椭圆C的标准方程为+=1. (2)方法一:若有一条切线斜率不存在, 则另一条斜率为0, 此时点P有四个点, 分别是(3,2),(-3,2),(-3,-2),(3,-2); 当两条切线斜率都存在时, 设切线方程为y-y0=k(x-x0), 代入+=1中, 整理可得(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0, 切线与椭圆只有一个公共点, 则Δ=0,即(18k)2(y0-kx0)2-36(9k2+4)