【四维备课】高中数学_1.1《任意角和弧度制》课件_新人教A版必修4.ppt

* 1.1 任意角和弧度制 1、角的概念 初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形. 这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是[0o, 360o)， 这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”. 生活中很多实例会不在该范围。 体操运动员转体720o，跳水运动员向内、向外转体1080o； 经过1小时，时针、分针、秒针各转了多少度？ 这些例子不仅不在范围[0o, 360o) ，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角， 想想用什么办法才能推广到任意角？ 关键是用运动的观点来看待角的变化。 2．角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α． 旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点． ⑵．“正角”与“负角”、“0o角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660°， 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零度角（0o）． 角的记法：角α或可以简记成∠α. ⑶角的概念扩展的意义： 用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了 ① 角有正负之分; 如：?=210?, ?= ?150?, ?=660?. ② 角可以任意大; 实例：体操动作：旋转2周（360?×2=720?） 3周（360?×3=1080?） ③ 还有零角, 一条射线，没有旋转. 角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角． 要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样． 用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量） （2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了； （1）旋转中心：作为角的顶点. （3）旋转量： 当旋转超过一周时，旋转量即超过360o，角度的绝对值可大于360o .于是就会出现720o ， － 540o等角度. 3．“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 例如：30?、390?、?330?是第Ⅰ象限角， 300?、 ?60?是第Ⅳ象限角， 585?、1300?是第Ⅲ象限角， 135 ? 、?2000?是第Ⅱ象限角等 4．终边相同的角 ⑴ 观察：390?，?330?角，它们的终边都与30?角的终边相同. ⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与k(k∈Z)个周角的和： 390?=30?+360?(k=1), ?330?=30??360? (k=－1) 30?=30?+0×360? (k=0), 1470?=30?+4×360?(k=4) ?1770?=30??5×360? (k=－5) ⑶ 结论： 所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合：{β| β=α+k·360o}(k∈Z) 即：任何一个与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和 ⑷注意以下四点： ① k∈Z； ② ?是任意角； ③ k·360o与?之间是“+”号，如k·360o－30o,应看成k·360o+(－30o)； ④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360o的整数倍. 例1. 在0o到360o范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角. (1) －120o；(2) 640o；(3) －950o12′. 解：⑴∵－120o=－360o+240o， ∴240o的角与－120o的角终边相同， 它是第三象限角． ⑵ ∵640o=360o+280o， ∴280o的角与640o的角终边相同， 它是第四象限角． ⑶ ∵－950