无穷级数第四节(高等数学同济七版).ppt

无穷级数 第四节 任意项级数 绝对收敛 一、交错级数及其审敛法 二、绝对收敛与条件收敛 三、小结 思考题 一、交错级数及其判别法 二、绝对收敛与条件收敛 定理：如果任意项级数 满足条件 则当 时级数绝对收敛，当 时级数 发散。 三、小结 * 定义: 正、负项相间的级数称为交错级数. 解 原级数收敛. 定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 上定理的作用： 任意项级数 正项级数 解 故由定理知原级数绝对收敛. 正 项 级 数 任意项级数 审 敛 法 1. 2. 4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法 4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理) 3.按基本性质; 思考题 思考题解答 由比较审敛法知 收敛. 反之不成立. 例如： 收敛, 发散. 练 习 题 练习题答案 * * 例2 判别级数的收敛性. 定理 若任意项级数的各项绝对值组成的级数收敛,则也收敛. 例7 判别级数的收敛性. 莱不尼兹定理 如果交错级数满足条件: (ⅰ);(ⅱ), 则级数收敛,且其和,其余项的绝对值 . 且,若收敛,则收敛； 反之，若发散，则发散. 推论: 若收敛(发散) 且, 则收敛(发散). 例1 讨论P-级数 的收敛性. 例3 判定下列级数的敛散性: (1) ; (2) ; 6.比值审敛法(达朗贝尔D’Alembert判别法)： 设是正项级数,如果 则时级数收敛;时级数发散; 时失效. 例4 判别下列级数的收敛性: (1) ; (2) ; (3) . 7.根值审敛法 (柯西判别法)： 设是正项级数,如果 , 则时级数收敛; 定义:若收敛, 则称为绝对收敛; 若发散,而收敛, 则称为条件收敛. 设正项级数收敛, 能否推得收敛?反之是否成立? 由正项级数收敛，可以推得收敛, 例2 证明级数是发散的. 设为正项级数, 如果 (或), 则级数发散; 如果有, 使得存在, 则级数收敛. 5.极限审敛法： 1.当时比值审敛法失效; 2.条件是充分的,而非必要. 收敛. 填空题: 1、级数当_______时收敛,当_______时发散； 2、若正项级数的后项与前项之比值的根, 则当________时级数收敛；________时级数发散； ____________时级数可能收敛也可能发散 . 用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛 性: 1、； 2、 . 用比值审敛法判别下列级数的收敛性: 1、；2、. 用根值审敛法判别下列级数的收敛性: 1、； 2、. 判别下列级数的收敛性: 1、； 2、； 3、. 判别下列级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛? 1、； 2、； 3、. 七、若存在,证明:级数收敛 . 八、证明:. 一、1、； 2、. 二、1、发散； 2、发散. 三、1、发散； 2、收敛. 四、1、收敛； 2、收敛. 五、1、发散； 2、收敛； 3、 六、1、绝对收敛； 2、条件收敛； 3、条件收敛. 时级数发散; 时失效.