东北大学机械学院机电系统与非线性振动控制课程大作业.docx

《机电系统及其控制过程中的非线性振动》课程报告 姓名： 学号： 指导教师：姚红良 时间：2016年7月   TOC \o 1-3 \h \z \u  HYPERLINK \l _Toc455583803 对非线性振动课程的理解和认识  PAGEREF _Toc455583803 \h 1  HYPERLINK \l _Toc455583804 0前言  PAGEREF _Toc455583804 \h 1  HYPERLINK \l _Toc455583805 1 含立方项非线性方程的椭圆函数解  PAGEREF _Toc455583805 \h 1  HYPERLINK \l _Toc455583806 2 具体算例  PAGEREF _Toc455583806 \h 2  HYPERLINK \l _Toc455583807 2．1 线性谐振子  PAGEREF _Toc455583807 \h 3  HYPERLINK \l _Toc455583808 2．2 立方非线性振动  PAGEREF _Toc455583808 \h 3  HYPERLINK \l _Toc455583809 2．3 杜芬系统的自由振动  PAGEREF _Toc455583809 \h 3  HYPERLINK \l _Toc455583810 3 解析解与数值解结果的比较  PAGEREF _Toc455583810 \h 4  HYPERLINK \l _Toc455583811 3．1 程序设计  PAGEREF _Toc455583811 \h 4  HYPERLINK \l _Toc455583812 3．2 数值实验结果  PAGEREF _Toc455583812 \h 5  HYPERLINK \l _Toc455583813 参考文献:  PAGEREF _Toc455583813 \h 5  PAGE \* MERGEFORMAT6 对非线性振动课程的理解和认识 0前言 立方项的非线性振动是物理学及工程应用中出现较多的一类非线性振动。立方项系数远小于线性项系数的杜芬方程，作为弱非线性的典型代表，得到了非常广泛的应用。近年来，有关含立方项的强非线性实际振动系统的研究越来越多，如双弹簧振子的横向振动、新材料中的纳米机械共振子的振动及悬索的振动等。描述这些振动系统的微分方程中，线性项常常小于立方项，甚至仅存在立方项。 为了解决强非线性振动在工程设计中的实际应用，出现了诸如能量法、广义谐波函数平均法、范式理论方法、同伦摄动法及迭代摄动法等多种强非线性振动系统周期解的近似求解方法。这些方法原则上都可以用来求解强立方非线性振动方程周期解，但只能得到近似结果。本文将依据弹性力作用下系统机械能守恒的原理，求解出一类含有线性项和立方项的非线性微分方程的精确解析解。 1 含立方项非线性方程的椭圆函数解 常见的含立方项非线性自由振动微分方程可表示为: 式中，k1≥ 0，k2≥ 0 是由振动系统性质决定的非负常数。为了方便，设初始条件为: 可化为： 上式表明: 方程表示的系统在振动过程中总机械能守恒。设总机械能为 E，则在式中 上式·表明: 系统的相图为闭合凸曲线，则式( 1) 的解可设为： 将上式 求导得: 代入得: 则上式可化为： 两端积分得: 其中，F(θ，λ) 是模为λ，参数为θ的勒让德第一类椭圆积分，其反函数为： 代入可得： 其中sn、cn 和dn 是雅可比椭圆函数。椭圆函数是双周期的亚纯函数。因此，由 LT =4K( λ) 可以得振动系统的周期为: 2 具体算例 为了考察方程的解析解式的合理性，具体分析几个算例。 2．1 线性谐振子 当 k2= 0 时，化为: 代入可得： 可以看出结果与众所周知的结果完全相同。 2．2 立方非线性振动 当 k1= 0 时，化为: 代入可得： 上式表明立方振子的周期与振幅成反比，比例系数由 k2确定。这与已有的报道完全相同。 2．3 杜芬系统的自由振动 此时方程可以化为： 上式是杜芬系统自由振动微分方程，可采用多种近似方法进行求解。 代入并忽略高阶小项后可得： 上式与采用多种近似计算得到的结果一致。 3 解析解与数值解结果的比较 将方程采用 MATLAB的 ode45 函数进行四阶龙格－库塔数值求解，将得到的振动曲线与由方程计算得到的振动曲线在同一图中进行比较；同时，将数值解得到的相图与由推导公式得到的相图在同一图中进行比较。 3．1 程序设计 用 fun31．m文件定义待求函数。 function f = fun31( t，y) ; global