王淑华固体物理答案第三章.ppt

故(4)式可写作 因为对于已知晶格， 和 是确定的数，因此 也是确定 的常数。此外， 的出现是由于互作用能中的非谐项引起的， 如果晶体做严格的谐振动，则 ，必有 。 3.22 证明：固体的体胀系数 ，体积V和体积弹性模量K间 满足格林爱森关系： 。式中， 为固体的定容 热容量； 是格林爱森常数。 证明：按定义，晶体的体胀系数 使用熟知的循环关系式 上式化为 (1) 式中 是体积弹性模量。 对于晶体，有格林爱森常数状态方程： (2) 式中，U(V)是0K时晶体的互作用能， 为晶体热振动的平均 总能量； 是格林爱森常数。 代回(1)式即得 无关，则有 对(2)式求微商，由于U(V)与温度 3.23 由正负离子构成的一维离子链，离子间距为 ，离子质量都为 ，电荷交替变化，即第 个离子的电荷 ， 原子间的互作用势是两种作用势之和，其一为近邻两原子的短程 作用，力系数为 ；其二是所有离子间的库仑作用。证明： （1）库仑力对力常数的贡献为 （2）色散关系为 其中 （3） 时，格波为软模。 证明： （1）设离子链沿水平方向。 第 个离子右端的第 个 离子与第 个离子间的库仑力为 上式右端加一负号，是我们规定坐标的正方向指向右端。 考虑到 可将上式展成 级数， 取一级近似得 第 个离子左端的第 个离子与第 个离子间的库仑力为 取一级近似得 第 个离子和第 个离子对第 个离子间的库仑合力为 可见库仑力对力常数的贡献为 （2） 第 个离子的运动方程为 设格波解 则由离子的运动方程得 令 可得 （3） 当 有 记 则有 由此知，当 时， 由于格波的频率 因此 说明 此振动模式对应的恢复力系数 相当于弹簧振子系统 的弹簧丧失了弹性。 所以称 的振动模式为软模。 3.24一维无限长原子链，原子质量为m和M，且mM 。靠得较近的两个原子构成一个分子。设一个分子内两原子平衡位置的距离为b，恢复力系数为?1，分子间两原子间的恢复力系数为?2，晶格常数为a(如图所示)，求色散关系。 a 2n-2 2n 2n+1 2n+2 2n-1 M m b ?1 ?2 解:只考虑最近邻原子间的相互作用， 将试探解代入方程得: 据玻恩-卡门周期性边界条件，可以确定波矢q的取值。 0(+)-----光学支格波， A(-)-----声学支格波 q可取N个值。 高温时，当T ?E时， (1) 3.高低温极限讨论 (2)低温时，当T ?E时， 模式密度为: (2)比热表达式 ?D为德拜温度 取 ---德拜比热函数 (1)当T?D时，x1， 3.高低温极限情况讨论 高温时与实验规律相吻合。 (2)低温时，当T?D时， 由上式看出，在极低温度下，比热与T3成正比，这个规律称为德拜定律。温度越低，理论与实验吻合的越好。 3.25 已知模式密度 求: (1)?~?+d?间隔内的振动模式数; (2) ?~?+d?间隔内的声子数及晶体中总的声子数; (3) ?~?+d?间隔内的谐振子的能量及晶体的能量; 解:(1) (2) (3) 3.26 对一维简单晶格，按德拜模型，求出晶格比热，并讨论高低温极限。 解： 波矢密度： 中的波矢数目： 中的振动模式数目： 高温时： 低温时： 把(1)式代入运动方程 (2) 并把试探解 据此得色散关系 (3) 2)长波极限下， 都是小量 同时代入，消去公因子后得 所以 格波的传播速度 可见，在长波极限下，格波的传播速度与波矢q无关。 (3)式变为 3.9 一维单原子链，原子质量为m，原子间距为a。计及所有原 子间的长程作用，且最近邻、次近邻、次次近邻原子间恢复力 常数依次为 1）求格波的色散关系； 2）若恢复力常数取 式中， 常”现象：当 解：1)设第n个原子对平衡位置的位移为 ，第n+p和n-p个 原子的位移分别记为 和 ，则第n+p 为常数，p遍取所有的整数值，试证明“科恩(Kohn)反 。 和第n－p个原子对第n个原子的作用力可写成 链上每个原子与第n个原子都有相互作用，故第n个原子的运动 方程应为 设试探解为 代入运动方程可得 故格波的色散关系为 (1) 2)若 代入(1)式得 当 时，由上式得到 (2) 因为 ，(2)式的求和对无穷原子系列进行，故 必有 或 对q的关系曲线在 处有一条垂直的切线，即 曲线在 点处扭折，这就是“科恩反常”现象。 3.10 设晶格中每个振子的零点振动能为 ，试用德拜模型 求晶