线性代数李德琼12白底.ppt

线性代数 本书主要内容 一　全排列 先看一个例子。 引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 　　n 个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn表示，可以得出计算 Pn 的公式： 从 n 个元素中任选一个放在第一个位置，有 n 种取法； 从剩下的n-1个元素中任选一个放在第二个位置上，有n-1种取法；… 最后一个元素放在第n个位置上，有1种取法。 于是 Pn=n · (n-1) · (n-2) … ·3·2·1=n！ 排列231 的数对21, 31均构成逆序，而23不构成逆序，因此排列231的逆序数为2, ? (2,3,1) =2 ; 排列213的逆序数是1, ? (2,1,3) =1 . 求一个排列逆序数的方法二：１．先求第二个元素 j２前面比它大的元素的个数N２，２．再求第三个元素j３前面比它大的元素的个数N３，… ３．最后求第 n 个元素 jn 前面比它大的元素的个数 Nn，４．将它们加起来即可，即? (j1, j2,…,jn) ＝N2＋N3…+Nn 若将行列式中各项的列下标按自然顺序排列,而相应行下标排列为 ,于是行列式又可定义为 性质1 行列式与它的转置行列式相等 例6 计算行列式 ◆当两个矩阵的行数相等,列数也相等,就称它们是同型矩阵。  设A为n阶方阵,若A? =A,即 aij= aji (i,j=1,2,… ,n), 那么, A称为对称矩阵; 若A? = －A,即 aij= - aji (i,j=1,2, …,n), 那么, A称为反对称矩阵。 对称矩阵的特点是: 它的元素以主对角线为对称轴对应相等 。 反对称矩阵的特点是: 以主对角线为对称轴的对应元素绝对值相等,符 号相反,且主对角线上各元素均为0 。 例7 设A是n阶反对称矩阵, B是n阶对称矩阵, 证明 AB+BA是n阶反对称矩阵. 证: 因为 所以结论成立. 例： 设A是n阶对称方阵，B为n阶反对称矩阵，证明(1)B2是对称矩阵 (2)AB－BA是对称矩阵，AB＋BA是反对称矩阵。 上一页 下一页 第一页 最末页 退出 五、方阵的行列式 定义6 由n阶方阵A的元素构成的行列式(各元素位置不变),称为方阵A的行列式,记作|A|或detA 。 应该注意，方阵与行列式是两个不同的概念，n阶方阵是n2个数按一定的方式排成的数表，而n阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。 例如： 设A,B为n阶方阵,?为实数,由A确定|A|的这个运算满足下列运算规律： A A = ) 1 ( ? 若A为方阵,行列式|A|的各元素的代数余子式Aij所构成的如下方阵 称为A的伴随矩阵。 , 2 1 2 22 12 1 21 11 * = nn n n n n A A A A A A A A A A … … … … … … 证 设A=（aij），记AA*=（bij），则 2 2 1 1 jn in j i j i A a A a A a + + + = … bij = |A|δij 其中δij = ? = ; , 0 , , j i j i 1 当 当 可验证 类似有A*A= ∑ = 1 a A n k kj ki =( |A|δij ) = |A|(δij) = |A|E 所以 AA*=( |A|δij ) = |A|(δij) = |A|E 例8 设A是n阶方阵，满足AA? =E，且|A|= -1,求|A+E| 解 由于 | A+E | = | A+AA?| = | A(E+A?) | = | A| | E+A?| = － | (E+A)? | = － | E+A | , 所以 2 | A+E | = 0，即| A+E | = 0 定义7 矩阵的初等行(列)变换是指: 在矩阵中 1.交换两行(列)的位置； 2.把某一行(列)乘以一个非零常数; 3.把某一行(列)的倍数加到另一行(列) 。 上一页 下一页 第一页 最末页