Chap4Sec2插值与数据拟合2n.ppt

杨东武 ydw_1978@126.com 数据插值 差商的概念 牛顿插值多项式构造 牛顿插值多项式误差分析 差分的概念 等距节点插值公式 数据插值 差商的概念 牛顿插值多项式构造 牛顿插值多项式误差分析 差分的概念 等距节点插值公式 数据插值 差商的概念 牛顿插值多项式构造 牛顿插值多项式误差分析 差分的概念 等距节点插值公式 数据插值 差商的概念 牛顿插值多项式构造 牛顿插值多项式误差分析 差分的概念 等距节点插值公式 例1:已知 求满足以上插值条件的牛顿型插值多项式。 解: 数据插值 差商的概念 牛顿插值多项式构造 牛顿插值多项式误差分析 差分的概念 等距节点插值公式 数据插值 差商的概念 牛顿插值多项式构造 牛顿插值多项式误差分析 差分的概念 等距节点插值公式 Newton向前插值公式 条件: 结点 的函数值已知, 要计算 附近点 的函数值. 令 Newton向后插值公式 条件: 结点 的函数值已知, 要计算 附近点 的函数值. 令 例2 已知函数 的数值表： 试作出 三次Newton向前/向后插值公式,并计算 、 的近似值。 构造差分表如下： 由上表，得 牛顿三次向前、向后插值公式分别为 * 机电工程学院 上节课内容回顾 1. 试写出n阶拉格朗日插值公式？ 2. 已知 4 5 6 2 5 4 3 1 用拉格朗日插值法求 的三次插值多项式 ，并求 的近似值（保留四位小数）。 3. 已知sin(0.4)=0.38942, sin(0.5)=0.47943, sin(0.6)=0.56464, sin(0.7)=0.64422, sin(0.8)=0.71736. 如用二次插值求sin(0.63891)的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。 噢是吗? 如果现在的插值不够精确呢? 那么你也许想取更多的节点. 对. 那么所有的 Lagrange 基函数, li(x), 都要重新计算. 很好 ! 我们现在介绍差商的概念， 并讨论解决这个问题方法. 当你写程序时, 你会发觉Lagrange 插值多项式是很容易计算的. 定义4.3.1 差商(亦称均差) §4.3 差商的定义及性质 1 0 1 1 1 0 1 0 ] , , ... , [ ] , ... , , [ ] , ... , [ + + + - - = k k k k k x x x x x f x x x f x x f (k+1)阶差商： 两者相同 称为f[xi , xj ]为函数f(x)关于xi 和 xj 的1阶差商 称为f[xi , xj , xk ]为函数f(x)关于xi 、 xj和 xk 的2阶差商 两者相同 差商的对称性 差商f[x0,x1,x2,…,xn]可以随意改变结点次序,而差商值不变. 一阶差商： 二阶差商： n阶差商： 差商的对称性请大家自行证明。 差商表 四阶差商 三阶差商 二阶差商 一阶差商 按列计算，计算过程中要用到x0,x1,……,xn的值。 §4.4 牛顿插值公式 1 2 … … … … n+1 该n次多项式是否可以作为插值公式？ 截断误差Rn(x) 牛顿插值公式Nn (x) 成为f(x)的n次插值公式。 类似于以上证明过程，我们可以进一步证明n次多项式 结论 逆序形式的牛顿插值公式 1 2 … … … … n+1 截断误差Rn(x) 牛顿插值公式Nn (x) 注：? 由唯一性可知 Nn(x) ? Ln(x)， 只是算法不同，故其余项也相同，即 区间[a,b]内的任意n+2个点 区间[a,b]内的任意n+1个点 0 -5 -13 2 1 2 6 9 2 9 3 -13 6 2 -5 2 1 1 0 0 三阶差商 二阶差商 一阶差商 重点内容： 差商表中各数值是如何计算得到的？ 5 -2 -5 1 0.6 0.05 由上述差商表可得 则牛顿三次插值多项式为 定义4.3.2 差分 当节点等距分布时: 向前差分