点集拓扑教学大纲.doc

附件5-1: 德州学院 本科课程教学大纲 课 程 名 称：　　点集拓扑　　 英 文 名 称：　Point set topology 课 程 编 号：　　　　　　　　 所属系（部）：　 数学系　　 日　 　 期：　 2005.4　　 周学时 3 总学时 54 学分 3 教学对象（本课程适合的专业和年级）：数学系各专业本科三年级学生 预备知识：集合论的有关有关内容 课程的教育目标： 使学生通过本课程的学习，清楚拓扑学的中心任务，初步掌握点集拓扑学的基本概念、基本理论及其应用。主要掌握拓扑空间、连续映射、同胚映射的概念，连通空间、局部连通空间、弧连通空间、紧致空间、局部紧致空间、仿紧致空间和满足可数性公理、分离性公理的空间的概念、拓扑性质以及相互之间的关系。学习逻辑推理的方法，提高抽象能力与逻辑思维能力. 课程的性质和任务： 点集拓扑是本科数学与应用数学专业的专业理论课。属几何类课程，选修课。拓扑学是十分重要的基础性的数学分支，它的许多概念、理论和方法在数学的其它分支中有着广泛的应用，特别与分析学有着密切联系，是分析学相应内容的提高和深化。同时在物理、化学、生物和现代科学技术中得到越来越广泛的应用。 拓扑学已与近世代数、近代分析共同成为近代数学理论的三大支柱.开设该课程就是要学习这门课程的基本知识，学习逻辑推理的方法． 课程的基本要求： （1）掌握拓扑空间、连续映射、同胚映射的概念及充要条件，拓扑空间的基和子基的概念、充要条件及作用。熟悉开集、导集、闭集等概念及其性质。 （2）熟悉子空间、有限积空间和商空间的拓扑结构。 （3）掌握连通性、理解局部连通、弧连通空间的概念、拓扑性质以及相互之间的区别与联系。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （4）掌握满足第一和第二可数性公理的空间、可分空间、林德洛夫空间的概念、性质以及相互之间的联系。 （5）掌握T1、T2、正则、正规、T3、T4 等空间的概念、性质及相互关系。 了解Urysohn引理、Tietze扩张定理的条件、结论和简单应用。 (6)掌握紧空间及其性质。掌握紧空间中的紧子集与闭子集之间的关系，紧的Hausdorff空间中的紧子集与闭子集之间的关系。 本课程在教学计划中的地位和作用： 点集拓扑学是本科数学与应用数学专业的专业选修课程。这些内容与分析学有着密切联系，是分析学相应内容的提高和深化。课程主要讲授点集拓扑的基本内容和方法，通过该课程的学习，可以培养学生的抽象思维能力，逻辑推理能力，为继续学习现代数学打下良好的基础。 课程的重点及难点： 重点：拓扑空间的概念、连续映射的概念；拓扑空间的子空间、积空间；拓扑空间的可数性公理、分离性公理；紧致空间、仿紧致空间、局部紧致空间。拓扑性质的遗传性、可积性、连续映射下的不变性。 难点：商空间、拓扑空间的可商性；连通性；Urysohn 引理和Tietze扩张定理的证明。 教 学 内 容 和 学 时 分 配 教学内容： 第一章：集合论初步 　　４　（学时数） 掌握内容：集合的基本运算，映射及其性质。 理解内容：关系；可数集、不可数集、基数。 了解内容：选择公理。 重点：集合的基本运算，映射及其性质； 难点：基数；选择公理。 第一节：　集合及其运算　　　 内容1 集合、集合之间的关系； 内容2 集合的运算 第二节：映射 　 内容1 关系、等价关系； 内容2 映射及其性质； 内容3 映射的限制、映射的扩张、内射、自然投射 第三节：可数集、不可数集、基数 内容1 有限集、无限集、可数集、不可数集； 内容2 基数；连续通假设； 内容3 选择公理 第二章：　拓扑空间与连续映射　　１４　（学时数） 掌握内容：拓扑空间、几个常见空间、基与子基、邻域和邻域基、连续映射， 理解内容：度量空间与连续映射； 了解内容：拓扑空间中的序列及其收敛性；边界； 重点：拓扑空间 难点：基与子基、邻域基 第一节：　度量空间与连续映射　　　 内容1 度量空间的俄概念、n维欧氏空间Rn、Hilbert空间H、离散度量空间； 内容2 邻域、开集； 内容3 度量空间映射的连续性。 第二节：拓扑空间与连续映射　 内容1 拓扑空间定义 内容2 平庸空间、离散空间、有限补空间、可数补空间； 内容3 连续映射、同胚；及性质； 内容4 拓扑不变性质。 第三节：邻域与邻域系　 内容1 邻域与邻域系； 内容2 邻域系的基本性质； 内容3 映射在一点的