点集拓扑学第二章拓扑空间与连续映射2-1,2.ppt

宁德师专数学系 宁德师范高等专科学校 * Department of Mathematics Company LOGO Company Logo Company LOGO Department of Mathematics Department of Mathematics Company Logo Company Logo Company Logo Company Logo Company Logo -哈尔滨工程大学- -理 学 院- -林 锰- 点集拓扑学 第二章 拓扑空间与连续映射 本章教学基本要求 掌握度量空间及度量空间的连续映射的概念掌握拓扑与拓扑空间的概念,并在此空间上建立起来的连续映射,同胚的概念，熟悉几个拓扑空间的例子掌握邻域与邻域系的概念及性质；掌握连续映射的两种定义；掌握证明开集与邻域的证明方法 掌握闭集和闭包等相关概念. 重点：拓扑空间,同胚映射,拓扑的建立和证明. 难点：拓扑空间,同胚映射 §2.1 度量空间与连续映射 一. 度量空间 1. 度量空间的定义 则称ρ是集合X的一个度量． 并称 为度量空间. 对于任意两点x，y∈X，实数ρ(x，y)称为从点x到点y的距离． 定义2.1. 设 为集合, 为一映射,如果对于任何x，y，z∈X，有: 例2.1 对于实数集合R ,定义ρ：R×R→R如下： 对于任意x，y∈R，令ρ(x，y)=|x-y|． ρ是R的一个度量，因此偶对(R，ρ)是一个度量空间,通常称为实数空间. 例2.2 n维欧氏空间,对于实数集合R的n重笛卡儿积, 定义ρ： ,对于任意的 定义: 则ρ是 上的一个度量 例2.3 离散的度量空间． 　 设(X,ρ)是一个度量空间．如果对于每一个x∈X，存在一个实数 , 使得 ,对 任意的 都成立, 称(X,ρ)是离散的，或者称ρ是X的一个离散度量. 是一个离散度量 例如: 离散的度量空间或许是我们以前未曾接触过的一类空间，但今后会发现它的性质是简单的． 2. 度量空间的其他概念 定义2.2. 设(X,ρ)是一个度量空间，x∈X． 对于任意给定的实数ε＞0，集合: 称为一个以x为中心以ε为半径的球形邻域. 定理2.1. 度量空间(X,ρ)的球形邻域具有性质： 1) 对任意x∈X,至少有一个 .且 2) 对x∈X的任意两个 , 3) 若 ,则存在 . 　定义2.3. 设A是度量空间X的一个子集．如果A中的每一个点都有一个球形邻域包含于A（即对于每一个a∈A，存在实数ε＞0使得B(a,ε) )，则称A是度量空间X中的一个开集． 例2.4 实数空间R中的开区间 (a,b)为开集. 例2.5 度量空间 中的开球为开集. 例2.6 [a,b]={x∈R|a≤x≤b} (a.b]={x∈R|a＜x≤b}，[a,b)＝{x∈R|a≤x＜b} 都不是R中的开集． 定理2.2. 度量空间(X,ρ)的开集具有以下性质： (1)集合X本身和空集 都是开集. (2) 有限个开集的交是一个开集 . (3)任意一个开集族（即由开集构成的族） 的并是一个开集 　定义2.4. 设x是度量空间X中的一个点，U是度量空间X的一个子集．如果存在一个开集V满足: ,则称U是点x的一个邻域. 二. 度量空间中的连续映射 定义2.4. 设X和Y是两个度量空间，f : X→Y，以及 如果对于 的任意一个球形邻域 , 存在 的某一球形邻域 ,使得: 则称映射f 在点 处是连续的. 如果映射f 在X的每一个点x∈X处连续，则 称f 是一个连续映射． 设X和Y是两个度量空间，f : X→Y，以及 则下述条件(1)和(2)分别等价于条件 和 ： 定理2.3 的每一个邻域的原象是 的一个邻域. (2) f 是连续的 Y中每一