点集拓扑学第二章拓扑空间与连续映射2-3.4.ppt

宁德师专数学系 宁德师范高等专科学校 定理2.20 对A, B?X, 有 (1) X?=X; (2) A??A; (3) (A∩B) ?=A?∩B?; (4) A??=A?. 定义2.15. 设X是一个拓扑空间， , 如果任意的 中既含有A中的点,又含有 中的点,则称点 为A的边界点, A的边界点之集称为边界, 记为?A. §2.4 拓扑基与邻域基 定义2.16. 设 为拓扑空间, B ,如果任意的 ,都存在B1 B,使的: 则称B是拓扑 的一个基，或称B是拓扑空间 X的一个基． 离散空间的一个基由所有的单点子集构成． 度量空间中的所有球形邻域构成的集族是 这个度量空间作为拓扑空间时的一个基． 则B是拓扑空间X的一个基当且仅当对于每一个x∈X和x的每一个邻域 , 存在 使得: 定理2.21　设B是拓扑空间 的一个开集族 证明:必要性,如果B是X的一个基,则对于每一个 和每一个 ,都存在 ,使得: 由于B是基,所以存在 ,使得 所以,存在某个 ,使得 充分性: 对于 ,和每一个 , 于是: 定理2.22　设X是一个集合，B是集合X的一个子 集族,如果B满足条件： (1) (2)如果 则对任何的 , 则X的子集族 是集合X的惟一的一个以B为基的拓扑 * Department of Mathematics Company LOGO Company Logo Company LOGO Department of Mathematics Department of Mathematics Company Logo Company Logo Company Logo Company Logo Company Logo -哈尔滨工程大学- -理 学 院- -林 锰- 点集拓扑学 第二章 拓扑空间与连续映射 本章教学基本要求 掌握度量空间及度量空间的连续映射的概念掌握拓扑与拓扑空间的概念,并在此空间上建立起来的连续映射,同胚的概念，熟悉几个拓扑空间的例子掌握邻域与邻域系的概念及性质；掌握连续映射的两种定义；掌握证明开集与邻域的证明方法 掌握闭集和闭包等相关概念. 重点：拓扑空间,同胚映射,拓扑的建立和证明. 难点：拓扑空间,同胚映射 §2.3 拓扑空间的其他概念 一. 导集，闭集，闭包 1. 导集 定义2.11. 设 为拓扑空间, ,如果点x∈X的每一个邻域U中都有A中异于x的点，则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点．集合A的所 有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d(A)． 如果x∈A并且x不是A的凝聚点，则称x为A的一个孤立点． 说明 凝聚点可以属于A,也可以不属于A 例2.4. 　离散空间中集合的凝聚点和导集． d(A)＝ 例2.5. 　平庸空间中集合的凝聚点和导集． 定理2.12　设X是一个拓扑空间， 则: (1) (2) (3) (4) 证明(3)必要性: 如果 综上所述，可见(3)必要性成立． 证明(4)设： (4) 由此(4)成立 2. 闭集 定义2.12. 设X是一个拓扑空间， ,如果A的每一个凝聚点都属于A，即: ,则称 A是拓扑空间X中的一个闭集． 说明 离散空间中的任何一个子集都是闭集 平庸空间中的任何一个非空的真子集都不是闭集 定理2.13　设X是一个拓扑空间， 则A是一个闭集，当且仅当A的补集 是开集. 证明必要性：设A是一个闭集 充分性：设： 即A是一个闭集． 例2.6　实数空间R中作为闭集的区间． 设a,b∈R，a＜b．闭区间[a,b]是实数空间R中的一个闭集. (-∞,a]，[b,∞)都是闭集，(-∞,∞)＝R显然更 是一个闭集． （a，b]，[a，b）是否闭集? 回答: 不是 定理2.14. 　设X是一个拓扑空间．记F为所有闭集构成的族．则： (1) (3) 若 . 则