相似矩阵与相似对角化.ppt

* * 二. 相似矩阵的定义及性质 定义: 设 都是 阶矩阵，若存在可逆矩阵 ，使得 则称矩阵 是矩阵 的相似矩阵， 对 进行运算 称为对 进行相似变换， 可逆矩阵 称为把矩阵 变成矩阵 的相似变换矩阵。 或称矩阵 与矩阵 相似，记作 注：矩阵相似是一种等价关系 （1）反身性： （2）对称性：若 则 （3）传递性：若 则 性质1: 相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、 相同的行列式、相同的迹、相同的秩 推论：若矩阵 与对角阵 相似， 则 是 的 个特征值。 (1) 相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。 当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。 其它的有关相似矩阵的性质： (3) 若 与 相似，则 与 相似。（ 为正整数） (5) (6) （ 为任意常数） (2) 若 与 相似，则 与 相似。（ 为正整数） (4) 若 与 相似，而 是一个多项式， 则 与 相似。 （2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。 注： （1）与单位矩阵相似的n阶矩阵只有单位阵E本身， 与数量矩阵kE 相似的n阶方阵只有数量阵kE本身。 三. 矩阵可对角化的条件（利用相似变换把方阵对角化） 对 阶方阵 ，如果可以找到可逆矩阵 ， 使得 为对角阵，就称为把方阵 对角化。 定理1： 阶矩阵 可对角化（与对角阵相似） 有 个线性无关的特征向量。 （2）可逆矩阵 由 的 个线性无关的特征向量 作列向量构成。 (逆命题不成立) 推论：若 阶方阵 有 个互不相同的特征值, 则 可对角化。（与对角阵相似） 注：（1）若 则 的主对角元素即为 的特征值， 矩阵 的相似标准形。 如果不计 的排列顺序，则 唯一，称之为 例1: 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 解: 得 得基础解系 当 时，齐次线性方程组为 当 时，齐次线性方程组为 得基础解系 线性无关 即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。 得基础解系 所以 不能化为对角矩阵. 当 时，齐次线性方程组为 解： 例2：设 若能对角化，求出可逆矩阵 使得 为对角阵。 问 能否对角化？ 得基础解系 当 时，齐次线性方程组为 当 时，齐次线性方程组为 得基础解系 线性无关， 可以对角化。 令 则有 注意：若令 即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的 位置要相互对应． 则有 把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且 在理论和应用上都有意义。 可对角化的矩阵主要有以下几种应用： 1. 由特征值、特征向量反求矩阵 例3：已知方阵 的特征值是 相应的特征向量是 求矩阵 解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵 是3 阶方阵。 因为 有 3 个不同的特征值，所以 可以对角化。 即存在可逆矩阵 , 使得 其中 求得 2. 求方阵的幂 例4：设 求 解： 可以对角化。 齐次线性方程组为 当 时， 系数矩阵 令 得基础解系: 齐次线性方程组为 当 时， 系数矩阵 令 得基础解系: 令 求得 即存在可逆矩阵 , 使得