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－理学院信息与计算科学系－ 了解数列极限的几何意义 掌握收敛数列的性质 理解数列极限的概念 学 习 重 点 第四节 数列的极限 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” —— 刘徽 一、概念的引入 S 如何求圆的 面积S 刘徽 中国魏晋间杰出的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一。幼年曾学习过《九章算术》，成年后又继纵深入研究。 在魏景元四年(263)注《九章算术》，并撰《重差》作为《九章算术》注第十卷。唐初以后，《重差》以《海岛算经》为名单行。刘 徽全面论述了《九章算术》所载的方法和公式，指出并且 纠正了其中的错误，在数学方法和数学理论上做出了杰出 的贡献。 思路就是从求圆内接正 n 边形的面积入手， n越大,正n边形面积就越接近圆的面积S 正六边形的面积 正十二边形的面积 ...... ...... （圆的面积） 形的面积 正 数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数: xn=f(n), n?N? . 数列与函数 二、数列 数列：如果按照某一法则, 对每一n?N?, 对应着一个确定的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, ? ? ? , xn , ? ? ? , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一般项. 整标函数 数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 例如 比如: 当 时,趋于0 当 时,趋于1 当 时,不趋于任何定数 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它 三、数列的极限 当 时,趋于1 我们知道，数列 对于式子 通过这样 “无限接近”的分析我们给出极限的概念 随着项数 n 的增大， xn 越来越接近 A （不够确切） n充分大时， xn 的值可以无限逼近A （定性描述） 存在 Exist 任意 Arbitrary 通过如上分析知,所谓数列 趋于定 数A,就是 很小,要多小有多小,即: 对 使得当 时, （精确定义） 数列极限的定义 则称常数 A是数列{xn }的极限，或称数列{xn }收敛于A 如果数列没有极限，就称数列是发散的。 数列极限的定义 记作 或 设有数列 {xn }和常数 A，如果对任意给定的正数ε，总存在一个正整数 N，使得对于 n N 时的一切 xn，总有 成立， OK! N 找到了！！ nN NO, 有些点在条形域外面！ ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● N ε 越来越小，N越来越大！ A A-e A+e ( ) 数列极限的几何意义 N?N?? 当nN时? 点xn一般落在邻域(A-e, A+e)外 当nN时? 点xn全都落在邻域 (A-e, A+e ) 内 任意给定的数A的e 邻域 (A-e, A+e ), 存在 A 关于极限定义的说明 1. ε是任意给定的. 2. N 与ε有关, 且不唯一. 3. 并不是所有的数列都有极限，如 { lnn }, {(-1)n+1} 的极限是不存在的. 4. 数列{xn}以 A 为极限,我们称 {xn} 是收敛的， 且收敛于 A. 若数列{xn}无极限，则称数列 {xn}发散。 例1 证： 所以 四、数列极限的证明方法 证明: 例2: 证明 用定义证明数列极限存在时, 关键是从绝对值不等式出发, 由?? 0, 找到使绝对值不等式成立的N(并不在乎N是否最小). Yes Yes No No 练习1 所以, 证明: 例4 对于数列xn 证 练习2 证 由定义, 收敛的数列必定有界 1.有界性 五、收敛数列的性质 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 2.唯一性：每个收敛的数列只有一个极限. 证 且a≠b，由定义, 矛盾，故收敛数列极限唯一. 3.保号性. 若 且 时, 有 取 证: 对 a 0 , 推论: 若数列从某项起 (用反证法证明) 设 均为收敛数列. 若存在正整数 使得当 时有 则 证明： (1) (2) 令 则当 时有 由 的任意性,得 4.保序性 注意： 5.子数列的收敛性 例如， 定理 收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同． 证 证毕． 思考与练习 如何判断极限不存在? 方法1. 找一个趋于∞的子数列; 方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列. 1，概念的引入； 2，数列的极限 3，数列极限的几何意义 4，数列极限的证明方法 5，收敛数列的性质 　小　　结 －理学院信息与计算科学系－