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不同定义下辅角主值与反三角函数正切的关系 黄小琳 （安康学院数学系 陕西 安康 725000） 摘 要： 非零复数有三种表示方法：代数形式、三角形式、指数形式。这几种表示方法可以相互转换，以适应讨论不同问题的需要，且用起来各有其便。 在将复数转化成三角形式时，由于任意非零复数有无穷多个辅角，故因规定的取值范围的不同，将会产生不同的主辅角。本文将在不同定义一下，探讨辅角主值与反三角函数正切的关系。 关键字：主辅角；反正切；关系； 预备知识：1.复数的辅角：实轴正向到非零复数所对应的向量间的夹角合于称为复数的辅角，记为. 2. 复数的主辅角:复数的辅角在某一特定范围内的一个特定值称为的主值，即Z的主辅角，记为。 对于一个复数我们可以借助于平面上横坐标为,纵坐标为的点来表示，于是能够建立平面上全部的点合全体复数的一一对应关系。当然我们也可以用极坐标与来确定复数在平面中的位置：用向量来表示复数，其中顺次等于沿轴与轴的分量。则向量的长度称为复数的模，用表示；实轴正向与非零向量间的夹角记为，对于每一确定的都有唯一的复数与之对应。 我们定义为复数的辅角，显然对于任意复数有无穷多个辅角。于是有规定在某一特定范围内复数的辅角的一个特定值为的主辅角。然而在不同定义范围内，辅角主值与反三角函数正切又有不同的关系。（注意：当时，辅角无意义。） 对于任意非零复数 ，当 时，主辅角与反正切的关系 当向量在平面第一，四象限时 当向量在平面第二象限时，如图： 当向量在平面第三象限时，如图： 当指向轴正向时，；当指向轴负向时，； 当指向轴正向时，；当指向轴负向时，； 对于任意非零复数 ，当 时，主辅角与反正切的关系 例1 设，且，则_________________. A) B) C) D) 由题我们可判断出复数所形成的向量在平面的第三象限，又因为，由1的图表可得，故选C. 例2 设复数且,与的关系为 _________；若，那么与的关系又为_________。 由题我们可判断出复数所形成的向量在平面的第四象限，又因为，由2的图表可得则；当，由1的图表可得. 参考文献： [1]王彩凤. 多值函数单值连续分支的研究[J]. 运城学院学报 , 2004,(02) []刘宅成. 辐角函数与复多值函数[J]. 泰安师专学报 , 1996,(06) .复变函数论[M].北京:高等教育出版社,2000. [4]谢娟,邱剑锋.复变函数与积分变换教学改革研究与实践[J].合肥师范学院学 报,2009. [5]张元林.积分变换[M].第四版.北京:高等教育出版社,2006. [6]麻桂英.用Matlab 提高复变函数教学质量[J].阴山学刊,2009. [7]韩流冰. 关于复变函数几个问题的师生讨论[J]. 大学数学 , 1993, (S2)