§1-3在维势箱中运动的粒子-结构化学课件.ppt

四、三维势箱 一、一维势箱模型 二、薛定谔方程处理一维势箱模型 三、对本征值和本征函数的讨论 §1-3 在一维势箱中运动的粒子 一、一维势箱模型——求解Schrodinger方程的实例 1．建立模型 §1-3 在一维势箱中运动的粒子 ②势能函数： ①物理模型：一个质量为m的粒子，不受外力，在一维方向上被束缚在长度为 ，势能为零的箱内运动，箱外的势能无穷大。 ③应用范围： §1-3 在一维势箱中运动的粒子 ● 金属内自由电子 共轭分子的 电子 ● ● 真空管中电子的运动 ● 原子内部电子在两个能级之间的跃迁 §1-3 在一维势箱中运动的粒子 二、用薛定谔方程处理一维势箱模型 用量子力学处理一个体系的一般步骤： ● 研究体系 ● 建立薛定谔方程 ● 求出?，E ● 解释、预言体系的性质 1．体系的薛定谔方程 箱外：由于粒子在势箱外不出现，?(x)=0 哈密顿算符： §1-3 在一维势箱中运动的粒子 箱内：势能为零， §1-3 在一维势箱中运动的粒子 薛定谔方程： 2．解微分方程的通解 §1-3 在一维势箱中运动的粒子 上述方程是二阶常系数线性齐次方程 方程的通解： §1-3 在一维势箱中运动的粒子 3．根据边界条件讨论微分方程的特解 必须是连续的，作为该体系的边界条件，应有 §1-3 在一维势箱中运动的粒子 的特解： 4．用波函数?的归一化条件,确定待定系数B §1-3 在一维势箱中运动的粒子 根据玻恩的统计解释—即在整个空间找到粒子的几率必须是100%。要求波函数是归一化的，即： 于是得到量子化的本征值和本征函数。 §1-3 在一维势箱中运动的粒子 三、对本征值和本征函数的讨论 1．本征值E的讨论 (1) 能量量子化 注： 一维势箱中粒子的能量是量子化的，不连续的。 在一定条件下，如果粒子的活动范围扩大（即 增大），相应的能量降低，如有机共轭分子中的离域效应。 不能为零。 越大，对应的能级越高， 越大，能量越低。 §1-3 在一维势箱中运动的粒子 (2) 零点能 (3) 相邻能级间的能差 零点能即基态能量，任何微观粒子的零点能不为零， 对于宏观质点， 较大，能量变化非常小， 完全可以认为能量的变化是连续的。 m越大， 越大, 越小,能量趋向于连续； m越小， 越小, 越大，量子化越显著。 §1-3 在一维势箱中运动的粒子 2．一维箱中粒子的波函数 和几率密度 说明在一维箱中粒子存在多种可能的运动状态。 箱中粒子的每一个 与一个 对应。 §1-3 在一维势箱中运动的粒子 (2) 的图像 以 作图，范围 n=1 n=2 n=3 n=4 波函数 几率密度 §1-3 在一维势箱中运动的粒子 除边界条件 外其余各处 的点称为节点。 波函数可以有正负变化，但几率密度总是非负的。 节点： 节点数： 一般来说,节点越多的状态,波长越短,频率越高,能量越高。 当 很大时，将分辨不清箱中各处几率密度的变化，这就是说，高量子态时趋于经典的均一的几率密度分布。 (3) 是正交归一化的 归一性：是指粒子在整个空间出现的几率为1 §1-3 在一维势箱中运动的粒子 正交性：是指 §1-3 在一维势箱中运动的粒子 正交性证明如下： 设有 当取前式复共轭时，得 由于 而 按共轭算符的定义，上两式左边应相等，故 §1-3 在一维势箱中运动的粒子 受一定势能场束缚的粒子的共同特征： (a) 粒子可以存在多种运动状态，它们可由 来描述，没有经典的运动轨道，只有几率分布； (b) 存在零点能； (c) 能量量子化； §1-3 在一维势箱中运动的粒子 四、三维势箱 1．模型 2．建立薛定谔方程 需要将薛定谔方程用变数分离法分解成三个一维的微分方程，然后分别求解，最后由 分别求得体系的完全波函数和能级。 （2）写出薛定谔方程 薛定谔方程： 箱内， §1-3 在一维势箱中运动的粒子 边界条件： §1-3 在一维势箱中运动的粒子 3.解薛定谔方程，根据边界条件和归一化条件求出 §1-3 在一维势箱中运动的粒子 对立方势箱： §1-3 在一维势箱中运动的粒子